第八章 第三节 直线的交点坐标与距离公式
课下练兵场
命 题 报 告 难度及题号 知识点 两直线交点问题 距离问题 对称问题 一、选择题
容易题 (题号) 2、4 1、5 6 中等题 (题号) 3、10 7、8、9 稍难题 (题号) 12 11 1．两条平行线l1：3x＋4y＋c1＝0，l2：6x＋8y＋c2＝0之间的距离是 ( ) |c1－c2||2c1－c2|
A．d＝ B．d＝
510|2c1－c2|
C．d＝ D．以上皆非
5c2
|c1－|
2c2
解析：l2：3x＋4y＋＝0，∴d＝. 25答案：B
1
2．当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在 ( )
2
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
??k2k－1??kx－y＝k－1，
，解析：解方程组?得两直线的交点坐标为??，因为0 k－1k－1????ky－x＝2k，
2k－1k1
＜k＜，所以＜0，＞0，所以交点在第二象限．
2k－1k－1答案：B
3．(2009·哈尔滨模拟)若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )
A．(1，－2) B．(1,2) C．(－1,2) D．(－1，－2) 解析：因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－k－2，于是直线方程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)． 答案：A
4．直线y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为 ( )
1425A. B. C. D. 3333
解析：直线y＝2x＋10与y＝x＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y＝ax－2，得－8＝a·(－29)－2，a＝.
3答案：C
xy
5．点P(m－n，－m)到直线m＋n＝1的距离等于 ( )
A.m2＋n2 B.m2－n2 C.－m2＋n2 D.m2±n2 xy
解析：因为直线＋＝1可化为nx＋my－mn＝0，
mn则由点到直线的距离公式，得 |(m－n)n＋(－m)m－mn|d＝.
22m＋n答案：A
6．(2009·海淀模拟)若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( )
A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)
解析：由于直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，∴直线l2恒过定点(0,2)． 答案：B 二、填空题
c＋22137．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则的值为______．
a13
3－2－1
解析：由题意得，＝a≠c，∴a＝－4，c≠－2，
6c
则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，
2
由两平行线间的距离，得?c＋1?213?2?
13
＝
13，
c＋2
解得c＝2或－6，所以a＝±1. 答案：±1
8．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________．
解析：数形结合所求点即为过P点垂直于已知直线的交点，可得P′(5，－3)． 答案：(5，－3)
9．与直线x－y－2＝0平行，且它们的距离为22的直线方程是________________．
解析：设所求直线l：x－y＋m＝0， |m＋2|由＝22，∴m＝2或－6.
2答案：x－y＋2＝0或x－y－6＝0 三、解答题
10．求过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程．
???x－2y＋3＝0，?x＝1，解：由? 解得?
???2x＋3y－8＝0，?y＝2，
∴l1，l2交点为(1,2)．
设所求直线方程为y－2＝k(x－1)， 即kx－y＋2－k＝0， ∵P(0,4)到直线距离为2，
|－2－k|4
∴2＝，解得：k＝0或k＝.
31＋k2∴直线方程为y＝2或4x－3y＋2＝0. 11．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)． ∵kPP′·k1＝－1，即×3＝－1. ①
x′－x又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
x′＋xy′＋y∴3×－＋3＝0. ②
22
y′－y
?4x?3y?9?x?? ③??5由①②得?
3x?4y?3?y?? ④?5?(1)把x＝4，y＝5代入③及④得x′＝－2，y′＝7， ∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
－4x＋3y－9
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－
53x＋4y＋3
－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0. 5
12．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值． 解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x+y-5)+λ(x-2y)=0， 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0， ∴10?5??5(2??)?(1??)22=3. 即2λ2-5λ+2=0，∴λ=2或∴l方程为x=2或4x-3y-5=0. (2)由?1. 2?2x?y?5?0,解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的
?x?2y?0,距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． ∴dmax=|PA|=10.
直线的交点坐标与距离公式练习题
