§4.6 正弦定理和余弦定理
2019高考会这样考
1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用
正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．
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复习备考要这样做
1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；
2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．
abc
1． 正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变
sin Asin Bsin C
形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sin abc
A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
2R2R2R
2． 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦
b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2定理可以变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2bc2ac2ab
111abc1
3． S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并
2224R2
可由此计算R、r.
4． 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
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A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 a＝bsin A 一解 bsin A
即在△ABC中，A>B?a>b?sin A>sin B.
2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． a＋b＋c
1． 在△ABC中，若A＝60°，a＝3，则＝________.
sin A＋sin B＋sin C
答案 2
解析 由正弦定理及等比性质知
a＋b＋cabc
＝＝＝＝2R， sin Asin Bsin Csin A＋sin B＋sin C而由A＝60°，a＝3， 得
a3
＝2R＝＝＝2.
sin Asin 60°sin A＋sin B＋sin C
a＋b＋c
2． (2019·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为
________． 答案 －2
4
解析 设三角形的三边长从小到大依次为a，b，c， 由题意得b＝2a，c＝2a. 在△ABC中，由余弦定理得
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a2＋b2－c2a2＋2a2－4a22
cos C＝＝＝－.
2ab42×a×2a
35
3． (2019·重庆)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，
513
b＝3，则c＝________. 答案
14
5
34
解析 在△ABC中，∵cos A＝>0，∴sin A＝. 55512
∵cos B＝>0，∴sin B＝.
1313∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B 4531256
＝×＋×＝. 51351365bc
由正弦定理知＝，
sin Bsin C563×
6514bsin C
∴c＝＝＝. sin B125
13
4． (2019·课标全国)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．
答案 27
解析 由正弦定理知
AB3BC
＝＝， sin Csin 60°sin A
∴AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120°－C) ＝2(sin C＋2sin 120°cos C－2cos 120°sin C) ＝2(sin C＋3cos C＋sin C)
＝2(2sin C＋3cos C)＝27sin(C＋α)， 其中tan α＝
3
，α是第一象限角， 2
由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角， 因此AB＋2BC有最大值27. 5． 已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面
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积为
D.
2 2
( )
A．22 答案 C
B．82 C.2
abcc
解析 ∵＝＝＝2R＝8，∴sin C＝，
sin Asin Bsin C8111
∴S△ABC＝absin C＝abc＝×162＝2.
21616题型一 利用正弦定理解三角形
例
1
角A、C和边c.
在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求
思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断．
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四川专用（理）[步步高]2014届高三数学大一轮复习讲义配套Word版文档4.6
