第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛 初二 第2试
2011年4月10日 上午9：00至11：00
一、选择题(每小题4分，共40分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正 确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。 1. Given A：B=32：3，A=2，C=
29. The size relationship between B and C is 10 (A) B>C (B) B=C (C) B 1a2?47a?12. 已知a?a=7，则代数式．2?2的值是 (A) 3 (B) (C) 4 (D) 5 。 2a?2a?2a?1a?12 3. 一个凸四边形的四个内角可以 (A) 都是锐角 (B) 都是直角 (C) 都是钝角 (D) 有三个是直 角，另一个是锐角或钝角 。 4. 如果直线y=2x?m与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则m的值是 (A) ?3 (B) 3 (C) ?4 (D) 4 。 5. 若n?1=20102?20112，则2n?1= (A) 2011 (B) 2010 (C) 4022 (D) 4021 。 6. 有四个命题 ? 若两个等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等，则这两个等腰三角形全等 ? 有一条边相等的两个等腰直角三角形全等 ? 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 A ? 两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等 D 其中，正确的命题有 (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 。 7. 如图1，Rt△ABC两直角边上的中线分别为AE和BD， C 则AE2?BD2与AB2的比值为 (A) 353 (B) 1 (C) (D) 。 442A 图1 P E F B C D E B 8. As shown in figure 2, ABCD is a rectangle and AD=12, AB=5， P is any point on AD and PE?BD at point E, PF?AC at point F. Then PE?PF has a total length of 486070 (A) (B) (C) 5 (D) 。 131313figure 2 y D O A F C E B 9. 如图3，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，C(2,1)，D(1,1)。 反比例函数y= k的图像与边BC交于点E，与边CD交于点F。已知 x BE：CE=3：1，则DF：FC等于 (A) 4：1 (B) 3：1 (C) 2：1 (D) 1：1 。 10. 如图4，a，b，c，d，e分别代表1，2，3，4，5中的一个数。 若b?a?c及d?a?e除以3都余1，则不同的填数方法有 (A) 2种 (B) 4种 (C) 8种 (D) 16种 。 x 图3 b d a c e 图4 二、填空题 (每小题4分，共40分) 11. 右表为甲、乙两人比赛投篮球的记录， 以命中率(投进球数与投球次数的比值) 10 甲 来比较投球成绩的好坏，若他们的成绩 a 乙 一样好。现有以下关系式： ? a?b=5； ? a?b=18； ? a：b=2：1； ? a：18=2：3； 其中正确的是 (只填序号)。 12. 已知方程组? 是 。 学生 投进球数 没投进球数 投球次数 5 b 15 18 ?2x?y?4?x?mk的解为?，又知点A(m,n)在反比例函数y=的图像上，则k的值 x?x?y?5?y?n 13. 等腰三角形的两个内角的度数之比为a：b (a 1 (x?1)，那么?f(f(f(?f(2011)?)))= 。 ??????1?x2011個fb的取值 ay 2 1 ?2 O 1 y?axy?2x?b315. 函数y=ax与函数y=x?b的图像如图5所示，则关于x，y的 方程组??ax?y?0的解是 。 3y?2x?3b?23x 图5 16. 若a，b是自然数，且a>b，2011=a(a?1)?b。那么a= ；b= 。 17. 一个骰子，六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6。两次掷这个骰子，朝上一面的数依 次记为m，n。则关于x，y的方程组??mx?ny?1，有解的概率为 。 D 2x?y?3?C 18. 如图6边长为2?3的正方形ABCD内有一点P，且?PAB=30?，PA=2， 在正方形ABCD的边上有一点Q，且△PAQ为等腰三角形，则符合条件 的点Q有 个。 A B 19. 已知a，b，c为实数，并且对于任意实数x，恒有 | x?a |?| 2x?b |=| 3x?c |， 图6 则a：b：c= 。 20. 一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000千米后报废；若安装在后轮，则行驶3000 千米后报废。现有一辆新自行车，在行驶一定路程后，交换前后两轮的轮胎，再继续行驶， 使得两个轮胎同时报废，那么该车最多行驶 千米。 三、解答题 每题都要写出推算过程。 21. (本题满分10分) 平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为(?1，?1)，(1，?1)，(1，1)，(?1，1)。设正方形ABCD在y=| x?a |?a的图像以上部份的面积为S，试求S关于a的函数关系式，并写出S的最大值。 22. (本题满分15分) 若直线l：y=x?3交x轴于点A，交y轴于点B。坐标原点O关于直线l的对称点O’在反比例函数y= k的图像上。 x2 P 30? (1) 求反比例函数y= k的解析式； x33k的图像交于点Q，当四边形APQO’的面积为9?时，求? 的 2x(2) 将直线l绕点A逆时针旋转角? (0? 23. (本题满分15分) 给定m (m?3)个数字组成的一列数a1，a2，…，am，其中每一个数ai (i=1，2，…，m)只能是1或0。在这一列数中，如果存在连续的k个数和另一组连续的k个数恰好按次序对应相等，则称这一列数是“k阶可重复的”。例如由7个数组成一列数：0，1，1，0，1，1，0，因为a1，a2，a3，a4与a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所以称这列数为“4阶可重复的”。 (1) 分别判断下面的两列数是否是“5阶可重复的”？如果是，请写出重复的这5个数； ? 0，0，0，1，1，0，0，1，1，0； ? 1，1，1，1，1，0，1，1，1，1。 (2) 如果一列数a1，a2，…，am一定是“3阶可重复的”，求m的最小值。 (3) 假设一列数不是“5阶可重复的”且第4个数是1，但若在这列数最后一个数再添加一个0或 1，均可使新的一列数是“5阶可重复的”，那么原来的数列中的最后一个数是什么？说明理 由。
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