普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理科数学(五)
本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i为虚数单位，且复数z满足
?z?i??1?i??2i,则z2?i
?
A．4
B．5
C．17
D．5
2．已知集合A?xy?log2?4?x?,B?xx2?5x?0，则A?B? A．[4，5]
B．(4，5]
C．(－∞，0)
D．(－∞，0]
????3．已知???0，??，sin??cos??，则sin??cos?? A．
157 516 35
B．?7 5 C．
1 5169 425
D．?1 54．已知一副扑克牌去掉大、小王后共52张牌，则从中任取3张，花色各不相同的概率为 A．
B．
224 505 C． D．
448 11055．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且公差d?0,S5?S10?S15?0,则Sn最大时，n? A．5
B．6
C．7
D．8
6．已知某几何体的正视图、侧视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是
7．
?102x?3?x2dx?
A．
?3+3
B．
?3?3 2 C．
?2?3
D．
?2?3 28．如图①，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干片金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n片金片总共需要的次数为an，则可推得
an?1?2an?1．如图②是求移动次数的程序框图模型，则输出的结果是
A．1022
B．1023
C．1024
D．1025
9．已知?ABC有以下性质：①AB+AC>BC；②内切圆半径r?2S(其中S，l分别为 l△ABC的面积和周长)；③三条中线交于点G，点G分中线为2：1的两段．类比到三棱锥P-ABC中，有：①S?PAB?S?PBC?S?PAC；②内切球半径R?3V(其中V，S分别为三棱锥P—ABC的S体积和表面积)；③每个顶点与所对的三角形的重心的连线交于一点Q，点Q分每条“顶点与重心连线”为3：1的两部分．则以上类比正确的是 A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
10．已知??0,f?x??1?tan?x,1?tan?x??????f?x??的图像与f?x?的图像关于点?,0?对称，则
3???3??的最小值为
A．
1 2 B．1 C．
3 2 D．2
11．已知偶函数f?x?满足2f?x??xf??x??6，且f?1??2，则f?x??3?A．xx??1或x?1 C．xx??2或x??
1的解集为 x2??
B．x?1?x?1
????D．x?2?x?2
??12．已知数列?an?的前n项和为Sn,an?A．5.5
B．6
p?n,且Sn?3恒成立，则p的最大值为
n4?n2?1
D．6.5
C．6.3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。共20分．
13．已知?1?2x??a0?a1x?????anxn，则a1?a2?????an?___________．
nuuuruuuruuuruuuruuuruuur14．已知四边形ABCD为梯形，AB//CD，AB=2，CD=l，则AB?BC?BC?CD?CD?DA?
uuuruuurDA?AB?___________．
15．某厂家购进甲原料17吨，乙原料23吨，用于生产A，B两种产品．已知生产1吨A产品需用甲原料1吨、乙原料3吨，可获利润3万元；生产1吨B产品需用甲原料3吨、乙原料2吨，可获利润4万元．则完成这批生产任务，可获最大利润为_____万元．
x2216．已知双曲线y?2?1?m?0?的上支交抛物线y?4x于A，B两点，双曲线的渐近线在第
m2一象限与抛物线交于点C，F为抛物线的焦点，且
115??，则m?______. FAFBFC三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分． 17．(12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c且(1)求角A的大小； (2)如图，点
D
与点
B
在
AC
的两侧，且
sinA?sinBc?2b?．
sinCa?bAB?AD?22,AC?
16,BC?DC，求cos?ADC． 7
18．(12分)
如图，在三棱柱ABC?ABC中，AA1?AB?BC?2,AC?2，平面ACC1A1?平面111ABC,?A1AC?45o．
(1)求证：平面AB1C?平面A1BC．
uuuuruuuur(2)在棱A1B1上取一点M，B1M??B1A1?0???1?，若CM与平面AB1C所成角的正弦值为
3，求?． 6
19．(12分)
某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中，有“难度系数”“区分度”和“综合”三个指标，其中，难度系数x?年级总平均分实验班的平均分－普通班的平均分，区分度y?，综合指标
总分总分1181p??x2?x?y．以下是高三年级6次考试的统计数据：
6252
(1)计算相关系数r,若r?0.75，则认为y与x的相关性强；通过计算相关系数r，能否认为
y与x的相关性很强(结果保留两位小数)?
(2)根据经验，当x??0.7,0.8?时，区分度y与难度系数x的相关性较强，从以上数据中剔除(0.7，0.8)以外的x值，即x1,x6．
$$保留两位小数)； (i)写出剩下4组数据的线性回归方程(a,b
(ii)假设当x??0.7,0.8?时，y与x的关系依从(i)中的回归方程，当x为何值时，综合指标p的值最大? 参考数据：
?siyi?0.94,i?1ni?16??i?1i6xi?x???i?126yi?y?2?0.0093,?xi?xi?25??2?0.0026.参考
公式：相关系数r???x?x??y?y?i??i?1nxi?x???2i?1n??xy?nxyiii?1nyi?y???x?x???y?y?2iii?1i?1niii?1nn2
$?回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b??x?x??y?y??xy?nxyiin??x?x?ii?1n2?i?1n??x?x?ii?12，
$?y?bx$. a
20．(12分)
已知定点F?1,0?与动点M?x,y?，过点M作直线l:x?4的垂线，垂足为点N，且满足
uuuur2uuuruuuuruuur3MN?4FN?MN?MF．
??(1)求点M的轨迹C的方程．
(2)已知直线m与曲线C只有一个交点P，且与直线x??4交于点Q，判断在x轴上是否存在
uuur2uuuruuur一点R，使得PR?RP?PQ为定值．若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
21．(12分) 已知函数f?x??lnx1?2． x2x(1)求函数f?x?的单调区间．
(2)证明：2ln2?3ln3??????n?1?ln?n?1??
1n?n?1??2n?7??n?N??. 12
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