数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ...
?1?cosx,x?0?(1))若函数f(x)??在x?0处连续,则( ) ax?b,x?0?(A)ab?1 2
(B)ab??1 2
(C)ab?0
(D)ab?2
【答案】A
1x1?cosx2?1,Qf(x)在x?0处连续?1?b?ab?1.选A. 【解析】lim?limx?0?x?0?ax2a2ax2a''(2)设二阶可导函数f(x)满足f(1)?f(?1)?1,f(0)??1且f(x)?0,则( )
(A)?f(x)dx?0?101?B???1f(x)dx?0?D???1f(x)dx??0f(x)dx011(C)?f(x)dx??f(x)dx?101
【答案】B 【解析】
f(x)为偶函数时满足题设条件,此时?f(x)dx??f(x)dx,排除C,D.
?1001取f(x)?2x?1满足条件,则
2?1?1f(x)dx??1?1?2x2?1?dx??2?0,选B. 3(3)设数列?xn?收敛,则( )
(A)当limsinxn?0时,limxn?0 (B)当lim(xn?n??n??n??xn)?0时,limxn?0
n??n??(C)当lim(xn?xn2)?0时,limxn?0 (D)当lim(xn?sinxn)?0时,limxn?0
n??n??n??
【答案】D
【解析】特值法:(A)取xn??,有limsinxn?0,limxn??,A错;
n??n?? 1
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取xn??1,排除B,C.所以选D.
(4)微分方程的特解可设为 (A)Ae(C)Ae2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) (B)Axe2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) ?xe2x(Bcos2x?Csin2x) (D)Axe2x?e2x(Bcos2x?Csin2x)
2x
【答案】A
【解析】特征方程为:??4??8?0??1,2?2?2i
**Qf(x)?e2x(1?cos2x)?e2x?e2xcos2x?y1?Ae2x,y2?xe2x(Bcos2x?Csin2x), ***2x2x故特解为:y?y1?y2?Ae?xe(Bcos2x?Csin2x),选C.
2
(5)设f(x,y)具有一阶偏导数,且对任意的(x,y),都有
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0,则 ?x?y(A)f(0,0)?f(1,1) (B)f(0,0)?f(1,1) (C)f(0,1)?f(1,0) (D)f(0,1)?f(1,0) 【答案】C 【解析】数,
所以有f(0,1)?f(1,1)?f(1,0),故答案选D.
(6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m)处,图中实线表示甲的速度曲线v?v1(t)(单位:m/s),虚线表示乙的速度曲线v?v2(t),三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位:s),则( )
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0,?f(x,y)是关于x的单调递增函数,是关于y的单调递减函?x?y 2
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v(m/s)1020051015202530t(s)
(D)t0?25
(A)t0?10
【答案】B
(B)15?t0?20
(C)t0?25
【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为
?t00v1(t)dt,?v2(t)dt,则乙要追上甲,则
0t0?
t00v2(t)?v1(t)dt?10,当t0?25时满足,故选C.
?0????11(7)设A为三阶矩阵,P?(?1,?2,?3)为可逆矩阵,使得PAP?则A(?1,?2,?3)???,?2???( )
(A)?1??2 (B)?2?2?3 (C)?2??3 (D)?1?2?2
【答案】 B 【解析】
?0??0??0???????P?1AP??1?AP?P1?A(?,?,?)?(?,?,?)1123123???????2?2?3???2?2?2???????,
因此B正确。
?200??210??100???????(8)设矩阵A?021,B?020,C?020,则( ) ??????????001???001???002??(A)A与C相似,B与C相似
(B)A与C相似,B与C不相似
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数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(C)A与C不相似,B与C相似
【答案】B 【解析】由
(D)A与C不相似,B与C不相似
?E?A?0可知A的特征值为2,2,1,
?100???因为3?r(2E?A)?1,∴A可相似对角化,即A~020
???002???由
?E?B?0可知B特征值为2,2,1.
因为3?r(2E?B)?2,∴B不可相似对角化,显然C可相似对角化,∴A~C,但B不相似于C.
二、填空题:9?14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. ...(9) 曲线y?x?1?arcsin【答案】y?x?2 【解析】
??2??的斜渐近线方程为_______ x?Qlimy22?lim(1?arcsin)?1,lim?y?x??limxarcsin?2,x??xx??x??x??xx
?y?x?2?x?t?etd2y?______ (10) 设函数y?y(x)由参数方程?确定,则2dxt?0?y?sint【答案】? 【解析】
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dydxdycost?cost,?1?et??dtdtdx1?et?cost??ttd2y?d2y1?et??sint(1?e)?coste??2???22tdxdxdx?1?e?dt (11)
't?01??
8???0ln(1?x)dx?_______ 2(1?x)【答案】1 【解析】
???0ln(1?x)1dx??ln(1?x)d?(1?x)21?x0?ln(1?x)????1?x??????0????0?1dx? 2(1?x)???01dx?1.(1?x)2yy(12) 设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且df(x,y)?yedx?x(1?y)edy,f(0,0)?0,则
f(x,y)?______
【答案】xye
【解析】fx??yey,fy??x(1?y)ey,f(x,y)?y?yedx?xyeyy?c(y),故
fy??xey?xyey?c?(y)?xey?xyey,
因此c?(y)?0,即c(y)?C,再由f(0,0)?0,可得f(x,y)?xye.
【答案】 【解析】 (13)
y?10dy?tanxdx?______ yx1
【答案】lncos1.
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【解析】交换积分次序:
1xtanx1tanx?0dy?yxdx??0dx?0xdy??0tanxdx?lncos1. 11?41?2??1?????(14)设矩阵A?12a的一个特征向量为1,则a?_____ ?????2???31?1????
【答案】-1
?1???【解析】设??1,由题设知A????,故
???2????41?2??1??1??1??????????????12a1??1?3?2a???????????? ?31?1??2??2??2??2????????????故a??1.
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过...程或演算步骤.
?(15)(本题满分10分)求极限limx?0?x0x?tetdtx3 【答案】
2 3【解析】limx?0t?x0x?tetx0x3dt,令x?t?u,则有
x?u?x0x?tedt???uedu??x0uex?udu
原式=limx?0x?x0uex?udux32?limx?0ex?x0ueudux32??limx?00uedux32u
?limx?0xex32x21?23
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dy(16)(本题满分10分)设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数,y?f(e,cosx),求
dxxd2y,2
dxx?0
x?0
dy【答案】
dx【解析】
x?0d2y?f(1,1),2dx'1x?0''?f11(1,1), x?0y?f(e,cosx)?y(0)?f(1,1)?dydx??f1'ex?f2'??sinx??x?0x?0x?f1'(1,1)?1?f2'(1,1)?0?f1'(1,1) d2y''2x''x''x''2'x'?2?f11e?f12e(?sinx)?f21e(?sinx)?f22sinx?f1e?f2cosxdxd2y''?2?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)dxx?0结论:
dydx2?f1'(1,1)x?0''?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)x?0dydx2
(17)(本题满分10分)求limk?k?ln?1?? ?2n??n?n?k?1n【答案】【解析】
1 411kk111lim?2ln(1?)??xln(1?x)dx??ln(1?x)dx2?(ln(1?x)?x20n??n202k?1nn10??0x2?1?11dx)?
1?x4
(18)(本题满分10分)已知函数y(x)由方程x?y?3x?3y?2?0确定,求y(x)的极值 【答案】极大值为y(1)?1,极小值为y(?1)?0 【解析】
两边求导得:
7
33数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
3x2?3y2y'?3?3y'?0 (1)
令y'?0得x??1
对(1)式两边关于x求导得 6x?6y?y'??3y2y''?3y''?0 (2)
2?x?1?x??1将x??1代入原题给的等式中,得?, or?y?1y?0??将x?1,y?1代入(2)得y''(1)??1?0 将x??1,y?0代入(2)得y''(?1)?2?0
故x?1为极大值点,y(1)?1;x??1为极小值点,y(?1)?0
(19)(本题满分10分)设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数,且f(1)?0,lim?x?0f(x)?0,证x明:
(?)方程f(x)?0在区间(0,1)内至少存在一个实根;
(?)方程f(x)f'(x)?(f'(x))2?0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】 【解析】
(I)f(x)二阶导数,f(1)?0,lim?x?0f(x)?0 x解:1)由于lim?f(x)?0,根据极限的保号性得
x?0xf(x)???0,?x?(0,?)有?0,即f(x)?0
x进而?x0?(0,?)有f????0
又由于f(x)二阶可导,所以f(x)在[0,1]上必连续
那么f(x)在[?,1]上连续,由f(?)?0,f(1)?0根据零点定理得: 至少存在一点??(?,1),使f(?)?0,即得证
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数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(II)由(1)可知f(0)?0,???(0,1),使f(?)?0,令F(x)?f(x)f'(x),则f(0)?f(?)?0 由罗尔定理???(0,?),使f'(?)?0,则F(0)?F(?)?F(?)?0, 对F(x)在(0,?),(?,?)分别使用罗尔定理:
??1?(0,?),?2?(?,?)且?1,?2?(0,1),?1??2,使得F'(?1)?F'(?2)?0,即
F'(x)?f(x)f''(x)??f'(x)??0在(0,1)至少有两个不同实根。
得证。
(20)(本题满分11分)已知平面区域D?2??x,y?|x2 ?y?2y?,计算二重积分???x?1?dxdy。
22D【答案】【
5? 4解
2析
?2202sin?】
???x?1?dxdy????xDD2?1?dxdy?2??xdxdy???dxdy?2?d??DD0r2cos2?d????5? 4(21)(本题满分11分)设y(x)是区间?0,?内的可导函数,且y(1)?0,点P是曲线L: y?y(x)上任意一点,L在点P处的切线与y轴相交于点0,Yp,法线与x轴相交于点Xp,0,若Xp?Yp,求L上点的坐标?x,y?满足的方程。 【答案】
【解析】设p?x,y(x)?的切线为Y?y(x)?y?(x)?X?x?,令X?0得Yp?y(x)?y?(x)x,法线
??3?2?????Y?y(x)??1X?x?,令Y?0得Xp?x?y(x)y?(x)。由Xp?Yp得y?xy?(x)?x?yy?(x),?y?(x)即?yy?y???1?y(x)??1。令?u,则y?ux,按照齐次微分方程的解法不难解出
xx?x?1ln(u2?1)?arctanu??ln|x|?C, x
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(22)(本题满分11分)设3阶矩阵A???1, ?2,?3?有3个不同的特征值,且?3??1?2?2。
(?)证明:r(A)?2
(?)若???1??2??3,求方程组Ax??的通解。
?1??1?????【答案】(I)略;(II)通解为k2?1,k?R
??????1??1?????【解析】
(I)证明:由?3??1?2?2可得?1?2?2??3?0,即?1,?2,?3线性相关, 因此,A??1?2?3?0,即A的特征值必有0。
???,?1??2?0 0??又因为A有三个不同的特征值,则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.
??1?且由于A必可相似对角化,则可设其对角矩阵为???2???∴r(A)?r(?)?2
(II)由(1)r(A)?2,知3?r(A)?1,即Ax?0的基础解系只有1个解向量,
?1??1??1???????由?1?2?2??3?0可得??1,?2,?3?2?A2?0,则Ax?0的基础解系为2,
????????1???1???1????????1??1??1???????又???1??2??3,即??1,?2,?3?1?A1??,则Ax??的一个特解为1,
???????1??1??1????????1??1?????综上,Ax??的通解为k2?1,k?R
??????1??1?????222(23)(本题满分11分)设二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正交变换
2X?QY下的标准型?1y12??2y2,求a的值及一个正交矩阵Q.
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数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
??1?11??326?【答案】a?2;Q????102??22?36?,f x?Qy ?3y1?6y2 ??111???326??【解析】
?21?4?f(xTAX,其中A???1?11?1,x2,x3)?X?
???41a??由于f(x,xT221,x23)?XAX经正交变换后,得到的标准形为?1y1??2y2,
21?4故r(A)?2?|A|?0?1?11?0?a?2, ?41a?21将a?2代入,满足r(A)?2,因此a?2符合题意,此时A???1?1???41??2?14|?E?A|??1??1?1?0??1??3,?2?0,?3?6,
4?1??2?由(?3E?A)x?0,可得A的属于特征值-3的特征向量为??1??1???1??;
?1???由(6E?A)x?0,可得A的属于特征值6的特征向量为???1??0?2?
???1???1由(0E?A)x?0,可得A的属于特征值0的特征向量为????3??2
??1??? 11
?4?1?2?,则??
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
??3???令P???1,?2,?3?,则P?1AP?6??,由于?1,?2,?3彼此正交,故只需单位化即可:
?0????1?111TTT?1,?1,1?,?2???1,0,1?,?3??1,2,1?,, 32??1?1?32则Q????11?2?3????0?3??11?32f(x21,x2,x3) x?Qy ?3y21?6y2 61?6?2????36?,QTAQ??1?????6??12
?6? 0???数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
2016年考研数学二真题
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.
11.当x?0时,若ln(1?2x),(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小,则?的可能取值范围是( )
(A)(2,??) (B)(1,2) (C)(,1) (D)(0,) 2.下列曲线有渐近线的是
2(A)y?x?sinx (B)y?x?sinx(C)y?x?sin??1212112 (D)y?x?sin
xx【详解】对于y?x?sin应该选(C)
1y1,可知lim?1且lim(y?x)?limsin?0,所以有斜渐近线y?x
x??xx??x??xx3.设函数f(x)具有二阶导数,g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x,则在[0,1]上( )
(A)当f'(x)?0时,f(x)?g(x) (B)当f'(x)?0时,f(x)?g(x) (C)当f??(x)?0时,f(x)?g(x) (D)当f??(x)?0时,f(x)?g(x)
?x?t2?7,4.曲线? 上对应于t?1的点处的曲率半径是( )
2?y?t?4t?1(A)
1010(B) (C)1010 (D)510 501005.设函数f(x)?arctanx,若f(x)?xf'(?),则limx?0?2x2?( )
(A)1 (B)
211 (C) (D)
332 13
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
?2u?0及6.设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续,在D的内部具有二阶连续偏导数,且满足
?x?y?2u?2u?2?0,则( ). 2?x?y
(A)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上; (B)u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部;
(C)u(x,y)的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上; (D)u(x,y)的最小值点在区域D的内部,最大值点在区域D的边界上.
0a7.行列式
b0b等于 0a000cdc00d22(A)(ad?bc) (B)?(ad?bc) (C)a2d2?b2c2 (D)?a2d2?b2c2
8.设?1,?2,?3 是三维向量,则对任意的常数k,l,向量?1?k?3,?2?l?3线性无关是向量
?1,?2,?3线性无关的
(A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D) 非充分非必要条件
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
9.
?1??1dx? .
x2?2x?510.设f(x)为周期为4的可导奇函数,且f'(x)?2(x?1),x??0,2?,则f(7)? . 11.设z?z(x,y)是由方程e2yz?x?y2?z?7确定的函数,则dz|?11?? .
?,?4?22? 14
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
12.曲线L的极坐标方程为r??,则L在点(r,?)??????,?处的切线方程为 . ?22?213.一根长为1的细棒位于x轴的区间?0,1?上,若其线密度?(x)??x?2x?1,则该细棒的质心坐标x? .
2214.设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1,则a的取值范围
是 .
三、解答题
15.(本题满分10分)
1t?求极限limx???x1(t(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x.
216.(本题满分10分)
已知函数y?y(x)满足微分方程x?yy'?1?y',且y(2)?0,求y(x)的极大值和极小值. 17.(本题满分10分)
设平面区域D?(x,y)|1?x?y?4,x?0.y?0.计算18.(本题满分10分)
22?22???Dxsin(?x2?y2)dxdy
x?y?2z?2zx2x??(4z?ecosy)e设函数f(u)具有二阶连续导数,z?f(ecosy)满足.若22?x?yxf(0)?0,f'(0)?0,求f(u)的表达式.
19.(本题满分10分)
设函数f(x),g(x)在区间?a.b?上连续,且f(x)单调增加,0?g(x)?1,证明: (1) 0?(2)
?bxag(t)dt?x?a,x??a,b?;
?a??ag(t)dtaf(x)dx??f(x)g(x)dx.
ab20.(本题满分11分)
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数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
设函数f(x)?x,x??0,1?,定义函数列 1?xf1(x)?f(x),f2(x)?f(f1(x)),?,fn(x)?f(fn?1(x)),?
设Sn是曲线y?fn(x),直线x?1,y?0所围图形的面积.求极限limnSn.
n??21.(本题满分11分) 已知函数f(x,y)满足
?f?2(y?1),且f(y,y)?(y?1)2?(2?y)lny,求曲线f(x,y)?0所?y成的图形绕直线y??1旋转所成的旋转体的体积. 22.(本题满分11分)
?1?23?4???设A??01?11?,E为三阶单位矩阵.
?1203???(1) 求方程组AX?0的一个基础解系; (2) 求满足AB?E的所有矩阵.
23.(本题满分11分)
?11???11?证明n阶矩阵?????11??1??0??1??0与???????1???0??01??02?相似. ?????0n??2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题
一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求
的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ...(1) 下列反常积分收敛的是 ( ) (A)
???21dx (B) x???2lnx (C)
dxxx2sintt)???21(D) dxxlnx
???2x dxex (2) 函数f?x??lim(1?t?0x 在(??,??)内( )
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数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点
1??xcos,x?0??x(??0,??0),若f'?x?在x?0处连续则:( ) (3) 设函数f?x?????0,x?0(A)????0 (B)0?????1 (C)????2 (D)0?????2
(4)设函数f(x)在???,???内连续,其中二阶导数f??(x)的图形如图所示,则曲线y?f(x)的拐
点的个数为( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(5) 设函数f?u,v?满足f?x?y,??x?y ,则
x??u?22?y??fu?1与v?1?f?vu?1v?1 依次是 ( )
(A)
1111,0 (B) 0, (C) ?,0 (D) 0,?
22223x围成的平面区域,函数f?x,y?4xy?1与直线y?x,y?(6)设D是第一象限由曲线2xy?1,
在D上连续,则
??f?x,y?dxdy? ( )
D?(A)
???d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr
(B)
??d??341sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??dr
?(C)
??d??34?(D)
??d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr
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数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
?1??111????? (7) 设矩阵A??12a?,b??d?.若集合???1,2?,则线性方程组Ax?b有无穷多解的充
???14a2??d2?????分必要条件为 ( )
(A) a??,d?? (B) a??,d?? (C) a??,d?? (D) a??,d??
222 (8) 设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换x?Py下的标准形为2y1,其中P?(e1,e2,e3),?y2?y3若Q?(e1,?e3,e2)则f?(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准形为( )
222222(A)2y1 (B) 2y1 ?y2?y3?y2?y3222222(C) 2y1 (D) 2y1?y2?y3?y2?y3
二、填空题:9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ...
?x?arctantd2y (9) ? 则 23dxy?3t?t?2xt?1? n(10)函数f(x)?x?2在x?0处的n阶导数f(0)?_________ (11) 设f?x?连续,??x???x20xf?t?dt,若??1??1,???1??5,则f?1??
'''(12)设函数y?y?x?是微分方程y?y?2y?0的解,且在x?0处yx取得极值3,则yx= .
(13)若函数Z?z?x,y?由方程ex?2y?3z?????xyz?1确定,则dz?0,0?= .
(14) 若3阶矩阵A的特征值为2,?2,1,B?A2?A?E,其中E为3阶单位阵,则行列式
B? .
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过...
18
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
程或演算步骤. (15) (本题满分10分)
设函数f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx,g(x)?kx.若f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小,求
3a,b,k的值.
(16) (本题满分10分)
设A>0,D是由曲线段y?Asinx(0?x??2)及直线y?0,x??2所围成的平面区域,V1,V2分
别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积,若V1?V2,求A的值.
(17) (本题满分11分)
已知函数f(x,y)满足fxy\(x,y)?2(y?1)ex,fx(x,0)?(x?1)e,f(0,y)?y?2y,求 f(x,y)的极值.
(18) (本题满分10分) 计算二重积分
(19)(本题满分 11 分) 已知函数f?x??
(20) (本题满分10分)
已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差
成正比,现将一初始温度为120?C的物体在20?C的恒温介质中冷却,30min后该物体降至
222x(x?y)dxdy,其中D?(x,y)x?y?2,y?x????'x2D
?1x1?t2dt??1X21?tdt,求f?x?零点的个数?
30?C,若要将该物体的温度继续降至21?C,还需冷却多长时间?
(21) (本题满分10分)
已知函数f?x?在区间?a,设b?a,+??上具有2阶导数,f?a??0,f??x??0,f''?x??0,
19
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
曲线y?f?x?在点b,f?b?处的切线与x轴的交点是?x0,0?,证明a?x0?b. (22) (本题满分 11 分)
???a10???设矩阵A??1a?1?且A3?O.
?01a???(1) 求a的值;
(2) 若矩阵X满足X?XA2?AX?AXA2?E,E为3阶单位阵,求X.
(23) (本题满分11 分)
?1?20??02?3?????设矩阵A???13?3?相似于矩阵B??0b0?.
?1?2a??031?????(1)求a,b的值;
(2)求可逆矩阵P,使P?1AP为对角阵.
20
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
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数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
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数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
23
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
2013
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.
1.设cosx?1?xsin?(x),?(x)??2,当x?0时,??x? ( )
(A)比x高阶的无穷小 (B)比x低阶的无穷小 (C)与x同阶但不等价无穷小 (D)与x等价无穷小
2.已知y?f?x?是由方程cos?xy??lny?x?1确定,则limn???f??2???n????n??1????((A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2 3.设f(x)???sinx,x?[0,?)?2,x?[?,2?],F(x)??x0f(t)dt则( )
(A)x??为F(x)的跳跃间断点. (B)x??为F(x)的可去间断点.(C)F(x)在x??连续但不可导. (D)F(x)在x??可导.
24
)
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
1?,1?x?e??1???(x?1)?4.设函数f(x)??,且反常积分?f?x?dx收敛,则( )
?1,x?e??1??xlnx(A)???2 (B)a?2 (C)?2?a?0 (D)0???2 5.设函数z?x?z?zy??( ) f?xy?,其中f可微,则
y?x?yx22f(xy) (D)?f(xy) xx(x,y)|x2?y2?1?的第k象限的部分,记Ik???(y?x)dxdy,则( ) 6.设Dk是圆域D??(A)2yf'(xy) (B)?2yf'(xy)(C)
Dk(A)I1?0 (B)I2?0 (C)I3?0 (D)I4?0 7.设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则
(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价. (B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价. (C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价. (D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.
?1a1??200?????8.矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是
?1a1??000?????(A)a?0,b?2 (B)a?0,b为任意常数 (C)a?2,b?0 (D)a?2,b为任意常数
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
9. lim?2??x?0?ln(1?x)??? . x?1x10.设函数f(x)??x?11?etdt,则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在y?0处的导数
dx|y?0? . dy 25
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
11.设封闭曲线L的极坐标方程为r?cos3???面积为 .
????????t为参数,则L所围成的平面图形的
6??6??x?arctant12.曲线上?对应于t?1处的法线方程为 .
2??y?ln1?t3x2xx2x2x13.已知y1?e?xe,y2?e?xe,y3??xe是某个二阶常系数线性微分方程三个解,则满
足y(0)?0,y'(0)?1方程的解为 .
14.设A?aij是三阶非零矩阵,A为其行列式,Aij为元素aij的代数余子式,且满足
??Aij?aij?0(i,j?1,2,3),则A= .
三、解答题
15.(本题满分10分)
当x?0时,1?cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小,求常数a,n. 16.(本题满分10分) 设D是由曲线y?3x,直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形,Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积,若10Vx?Vy,求a的值. 17.(本题满分10分)
设平面区域D是由曲线x?3y,y?3x,x?y?8所围成,求18.(本题满分10分)
设奇函数f(x)在??1,1?上具有二阶导数,且f(1)?1,证明: (1)存在??(0,1),使得f'????1;
(2)存在??(?1,1),使得f??(?)?f?(?)?1. 19.(本题满分10分)
求曲线x?xy?y?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离. 20.(本题满分11)
26
33??xdxdy.
D2数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
设函数f(x)?lnx?1 x⑴求f(x)的最小值; ⑵设数列?xn?满足lnxn?21.(本题满分11) 设曲线L的方程为(1)求L的弧长.
(2)设D是由曲线L,直线x?1,x?e及x轴所围成的平面图形,求D的形心的横坐标. 22.本题满分11分) 设A???1xn?1?1,证明极限limxn存在,并求此极限.
n??y?121x?lnx(1?x?e). 42?1a??01????,问当a,b为何值时,存在矩阵C,使得AC?CA?B,并求出所有矩,B?????10??1b?阵C.
23(本题满分11分)
?a1??b1?????22??a,??f(x,x,x)?2(ax?ax?ax)?(bx?bx?bx)设二次型.记?2??b2?. 123112233112233?a??b??3??3?(1)证明二次型f对应的矩阵为 2?????;
(2)若?,?正交且为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为 2y1?y2.
22TT
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要
求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ...
x2?x(1)曲线y?2的渐近线条数 ( )
x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)L(enx?n),其中n为正整数,则f?(0)? ( )
27
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn!
(3) 设an?0(n?1,2,3L),Sn?a1?a2?a3?L?an,则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
k?2(4) 设Ik??exsinxdx,(k?1,2,3),则有
0 ( )
(A) I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D) I2?I1?I3 (5) 设函数f(x,y)为可微函数,且对任意的x,y都有
?(x,y)?(x,y)?0,?0,则使不等式?x?yf(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个充分条件是
( )
(A) x1?x2,y1?y2 (B) x1?x2,y1?y2 (C) x1?x2,y1?y2 (D) x1?x2,y1?y2 (6) 设区域D由曲线y?sinx,x???2,y?1围成,则??(x5y?1)dxdy?
D ( )
(A) ? (B) 2 (C) -2 (D) -?
?0??0??1???1????????? (7) 设α1??0?,α2??1? ,α3???1? ,α4??1? ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数,则下列向量组?c??c??c??c??3??4??1??2?线性相关的为 ( )
(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4
?100???(8) 设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P?1AP??010?.若P??α1,α2,α3?,?002???Q??α1?α2,α2,α3?则Q?1AQ? ( )
28
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
?100??100??200??200?????????(A) ?020? (B) ?010? (C) ?010? (D)?020? ?001??002??002??001?????????
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ...
d2y(9) 设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数,则2dx2yx?0? . (10)limn? ?2?L?2?222?n??1?n2?nn?n?? . (11) 设z?f?lnx??111????z1?2?zx?y? . ,fu?其中函数??可微,则?x?yy?(12) 微分方程ydx?x?3y2dy?0满足条件y(13) 曲线y?x?x?x?0?上曲率为2*
??x?1?1的解为y? .
2的点的坐标是 . 2(14) 设A为3阶矩阵,A=3,A为A伴随矩阵,若交换A的第1行与第2行得矩阵B,则
BA*? .
三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过...程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)
已知函数f?x??(I)求a的值;
(II)若x?0时,f?x??a与x是同阶无穷小,求常数k的值.
k1?x1?,记a?limf?x?,
x?0sinxx(16)(本题满分 10 分)
求函数f?x,y??xe?x2?y22的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线L:y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
29
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
??xyd?,其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.
D(19)(本题满分10分)
已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex, (I) 求f(x)的表达式;
(II) 求曲线y?f(x2)?f(?t2)dt的拐点.
0x(20)(本题满分10分)
1?xx2 证明xln,(?1?x?1). ?cosx?1?1?x2(21)(本题满分10 分)
(I)证明方程xn+xn-1?L?x?1n?1的整数,在区间????1?,1?内有且仅有一个实根; ?2?(II)记(I)中的实根为xn,证明limxn存在,并求此极限.
n??(22)(本题满分11 分)
?1?0设A???0??aa00??1????1a0??1,????
?0?01a????001??0?(I) 计算行列式A;
(II) 当实数a为何值时,方程组Ax??有无穷多解,并求其通解.
(23)(本题满分11 分)
?1?0?已知A???1??0011??1?,二次型f?x1,x2,x3??xT?ATA?x的秩为2,
0a??a?1?(I) 求实数a的值;
(II) 求正交变换x?Qy将f化为标准形.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符
合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ...
30
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(1)已知当x?0时,函数f(x)?3sinx?sin3x与cxk是等价无穷小,则( )
(A)k?1,c?4 (B)k?1,c??4 (C)k?3,c?4 (D)k?3,c??4
x2f(x)?2f(x3)?( ) (2)设函数f(x)在x?0处可导,且f(0)?0,则lim3x?0x(A)?2f?(0) (B)?f?(0) (C)f?(0) (D)0 (3)函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (4)微分方程y????y?e(A)a(e?x2?x?e??x(??0)的特解形式为( )
?e??x) (B)ax(e?x?e??x) ?be??x) (D)x2(ae?x?be??x)
(C)x(ae?x(5)设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数,满足f(0)?0,g(0)?0,f?(0)?g?(0)?0则函
数z?f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A)f??(0)?0,g??(0)?0 (B)f??(0)?0,g??(0)?0 (C)f??(0)?0,g??(0)?0 (D)f??(0)?0,g??(0)?0
??0?0(6)设I??40则I,J,K的大小关系为( ) lnsinxdx,J??4lncotxdx,K??4lncosxdx,
(A)I?J?K (B)I?K?J (C)J?I?K (D)K?J?I
(7)设A为3阶矩阵,将A的第2列加到第1列得矩阵B,再交换B的第2行与第3行得单位矩
?100??100?????10?,P2??001?,则A=( ) 阵。记P1??1?001??010?????
31
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(A)P1P2 (C)P2P1 1P2 (B)P1 (D)P2P?1?1,0,1,0)是方程组Ax?0的一(8)设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵,A*为A的伴随矩阵。若(1 个基础解系,则A*x?0的基础解系可为( )
(A)?1,?3 (B)?1,?2 (C)?1,?2,?3 (D)?2,?3,?4 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。 ...(9)lim??T?1?2x?0?2x???? 。 ?'?x1x(10)微分方程y?y?e(11)曲线y?cosx满足条件y(0)?0的解为y? 。
?x0tantdt (0?x??4)的弧长s? 。
????e?kx,x?0,(12)设函数f(x)?? ??0,则?xf(x)dx? 。
??x?0,?0,(13)设平面区域D由直线y?x,圆x?y?2y及y轴所围成,则二重积分
22??xyd?? 。
D222(14)二次型f(x1,x2,x3)?x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3,则f的正惯性指数
为 。
三、解答题:15~23小题,共94分。请将解答写在答题纸指定位置上,解答应字说明、 ...
证明过程或演算步骤。 (15)(本题满分10分)
? 已知函数F(x)?
x0ln(1?t2)dtx?,设limF(x)?lim?F(x)?0,试求?的取值范围。
x???x?0(16)(本题满分11分)
32
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
131?x?t?t?,??33 确定,求
设函数y?y(x)由参数方程?y?y(x)的极值和曲线y?y(x)的
?y?1t3?t?1?33?凹凸区间及拐点。
(17)(本题满分9分)
设函数z?f(xy,yg(x)),其中函数f具有二阶连续偏导数,函数g(x)可导且在x?1处取
?2z得极值g(1)?1,求
?x?y
(18)(本题满分10分)
。
x?1,y?1 设函数y(x)具有二阶导数,且曲线l:y?y(x)与直线y?x相切于原点,记?为曲线l在点
(x,y)处切线的倾角,若
(19)(本题满分10分)
d?dy,求y(x)的表达式。 ?dxdx (I)证明:对任意的正整数n,都有
1?1?1?ln?1???成立。 n?1?n?n (II)设an?1?
11????lnn(n?1,2,?),证明数列?an?收敛。 2n(20)(本题满分11分)
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲线由x2?y2?2y(y?1)与21x2?y2?1(y?)连接而成。
2 (I)求容器的容积;
(II)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?
(长度单位:m,重力加速度为gms,水的密度为10kgm)
33
233数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(21)(本题满分11分)
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)?0,f(x,1)?0,
其中D?(x,y)0?x?1,0?y?1,计算二重积分I?
(22)(本题满分11分)
T 设向量组?1?(1,0,1),?2?(0,1,1),?3?(1,3,5)不能由向量组?1?(1,1,1),
??f(x,y)dxdy?a,
D????xyf??(x,y)dxdy。
xyDTTT?2?(1,2,3)T,?3?(3,4,a)T线性表示。
(I)求a的值;
(II)将?1,?2,?3用?1,?2,?3线性表示。
(23)(本题满分11分)
?11???11?????0???00?。 设A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且A?0??11??11????? (I)求A的所有的特征值与特征向量; (II)求矩阵A。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一选择题
x2?x11?2的无穷间断点的个数为 (1) 函数f(x)?2x?1xA0 B1 C2 D3
2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解,若常数?,?使?y1??y2是该方程的解,?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解,则 A??
1111,?? B???,??? 222234
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
C??23,??13 D??223,??3 (1) 曲线y?x2与曲线y?alnx(a?0)相切,则a? A4e B3e C2e De m4.设m,n为正整数,则反常积分
?1ln2(1?x)0nxdx的收敛性
A仅与m取值有关 B仅与n取值有关
C与m,n取值都有关 D与m,n取值都无关
5.设函数z?z(x,y)由方程F(y,z)?0确定,其中F为可微函数,且F?z?xx2??0,则x?x?yz?y= Ax
Bz C?x D?z
nn6.(4)limnx????)(n?j)= i?1j?1(n?i22 A
?1x10dx?0(1?x)(1?y2)dy B?10dx?x10(1?x)(1?y)dy C
?1111110dx?0(1?x)(1?y)dy
D
?0dx?0(1?x)(1?y2)dy
7.设向量组I:?1,?2,?,?r可由向量组II:?1,?2,?,?s线性表示,下列命题正确的是: A若向量组I线性无关,则r?s B若向量组I线性相关,则r>s
C若向量组II线性无关,则r?s D若向量组II线性相关,则r>s
??1(A) 设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于A?1??1???1??1???1?????1????1?? ?1? ??1?C???1?D???1??0???
?0????0??二填空题
9.3阶常系数线性齐次微分方程y????2y???y??2y?0的通解y=__________
35
???? B0??数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
2x310.曲线y?2的渐近线方程为_______________
x?111.函数y?ln(1?2x)在x?0处的n阶导数y?(n)(0)?__________
12.当0????时,对数螺线r?e的弧长为___________
13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加,宽w以3cm/s的速率增加,则当l=12cm,w=5cm时,它的对角线增加的速率为___________
14.设A,B为3阶矩阵,且A?3,B?2,A?1?B?2,则A?B?1?__________ 三解答题 15.求函数f(x)?16.(1)比较
?x21(x2?t)e?tdt的单调区间与极值。
n2?10lnt[ln(1?t)]dt与?tnlntdt(n?1,2,L)的大小,说明理由.
01 (2)记un??10lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,L),求极限limun.x??
设函数y=f(x)由参数方程17.2?x?2t?t,5(t??1)所确定,其中?(t)具有2阶导数,且?(1)?,?2?y??(t),d2y3??(1)?6,已知2?,求函数?(t)。 dx4(1?t)18.一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放,当油罐中油
3b面高度为2时,计算油的质量。
(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为19.
?kg/m3)
?2u?2u?2u设函数u?f(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式42?12?52?0.?x?x?y?y?2u确定a,b的值,使等式在变换??x?ay,??x?by下简化?0????
计算二重积分I???r2sin?1?r2cos2?drd?,其中D?{(r,?)0?r?sec?,0???}.4 20.D
36
?数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
121.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=3,证明:存在
??(0,),??(,1),使得f?(?)?f?(?)??2??2.22.
1212
???设A??0?1?1??111??a????0?,b??1?.已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解。?1??????23.设
(1)求?、a.(2)求方程组Ax?b的通解。?0?14???1A???13a?,正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵,若Q的第一列为(1,2,1)T,求a、Q.
6?4a0???
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?x3(1)函数f?x??的可去间断点的个数,则( )
sinnx?A?1.
?B?2. ?C?3.
2?D?无穷多个.
(2)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?是等价无穷小,则( )
?A?a?1,b??1. 6?B?a?1,b?111. ?C?a??1,b??. ?D?a??1,b?. 666(3)设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy,则点?0,0?( )
?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点. ?C?是f?x,y?的极大值点. ?D?是f?x,y?的极小值点.
37
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(4)设函数f?x,y?连续,则
?21dx?f?x,y?dy??dy?x1224?yyf?x,y?dx?( )
?A??12dx?4?x1f?x,y?dy.
?B??12dx?4?xxf?x,y?dy.
?C??1dy?1内( )
24?yf?x,y?dx.
?D?.?1dy?yf?x,y?dx
2222(5)若f???x?不变号,且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x?y?2,则f?x?在区间?1,2??A?有极值点,无零点. ?B?无极值点,有零点. ?C?有极值点,有零点. ?D?无极值点,无零点.
(6)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为:
O -2 0 -1 x1 2 3
则函数F?x???f?t?dt的图形为( )
0 1 1 -2 0 -1 1 2 3 ?B?.
-2 -1 0 1 2 3
?A?.
38
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
1 0 1 0 -1 -1 1 2 3
-2 1 2 3
?C?.?D?.
(7)设A、B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A、B的伴随矩阵。若A=2,B=3,则分块矩阵
?0??BA??的伴随矩阵为( ) 0?
?03B*??A?.?*?
0??2A?0?C?.?*?2B3A*?? 0??0.B???*?3A?0?D?.?*?3B2B*?? 0?2A*?? 0?
?100???TT(8)设A,P均为3阶矩阵,P为P的转置矩阵,且PAP=?010?,若
?002???TP=(?1,?2,?3),Q=(?1+?2,?2,?3),则QAQ为( )
?210??110?A?.??? ?002????200??010?C?.??? ?002???
?110??120?B?.??? ?002????100?
?
020?D?.??? ?002???
二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.
1-t?u2??x=?edu(9)曲线?在处的切线方程为 (0,0)0?y?t2ln(2?t2)?
39
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(10)已知
+?kx???edx?1,则k? (11)lim1?xesinnxdx? n???0yd2y(12)设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数,则2dx(13)函数y?x2xx=0=
在区间?01,?上的最小值为
?200???TTT(14)设?,?为3维列向量,?为?的转置,若矩阵??相似于?000?,则??= ?000???
三、解答题:15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分9分)求极限limx?0?1?cosx??x?ln(1?tanx)?sinx4
(16)(本题满分10 分)计算不定积分ln(1??1?x)dx (x?0) x?2z(17)(本题满分10分)设z?f?x?y,x?y,xy?,其中f具有2阶连续偏导数,求dz与
?x?y
(18)(本题满分10分)
设非负函数y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0,当曲线y?y?x??过原点时,其与直线x?1及y?0围成平面区域D的面积为2,求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
(19)(本题满分10分)求二重积分其中D?
???x?y?dxdy,
D??x,y??x?1???y?1?22?2,y?x
40
?数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(20)(本题满分12分)
(-设y?y(x)是区间内过(-?,?)?,)的光滑曲线,当-??x?0时,曲线上任一点处的法
22?线都过原点,当0?x??时,函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式
(21)(本题满分11分)
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在?a,b?可导,则存在???a,b?,使得f?b??f?a??f?????b?a?(Ⅰ)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可
f??x??A,则f???0?存在,且f???0??A。 导,且lim?x?0
?1?1?1???1?????1?,?1??1? (22)(本题满分11分)设A???11?0?4?2???2?????2(Ⅰ)求满足A?2??1,A?3??1的所有向量?2,?3
(Ⅰ)对(Ⅰ)中的任一向量?2,?3,证明:?1,?2,?3线性无关。
(23)(本题满分11分)设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3
222(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值;
22(Ⅰ)若二次型f的规范形为y1,求a的值。 ?y2
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
41
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
2(1)设f(x)?x(x?1)(x?2),则f(x)的零点个数为( )
'?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3
(2)曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数,则定积分
?a0aft(x)dx( )
?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.
x(3)在下列微分方程中,以y?C1e?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是
( )
?A?y'''?y''?4y'?4y?0 ?C?y'''?y''?4y'?4y?0
?B?y?y?4y?4y?0
''''''
?D?y'''?y''?4y'?4y?0
(5)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是( )
?A?若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调,则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛.
(6)设函数f连续,若F(u,v)?Duv
?D?若?f(xn)?单调,则?xn?收敛.
dxdy,其中区域Duv为图中阴影部分,则
?F? ?u??f(x2?y2)x2?y2vf(u2) uv?C?vf(u) ?D?f(u)
u?A?vf(u2) ?B?
3(7)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A?0,则( )
?A?E?A不可逆,E?A不可逆.
?B?E?A不可逆,E?A可逆.
42
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
?C?E?A可逆,E?A可逆.
(8)设A??
?D?E?A可逆,E?A不可逆.
?12??,则在实数域上与A合同的矩阵为( ) ?21?
??21??A???.
1?2???21?C????.
?12?
?2?1??B???.
?12???1?2??.
??21? ?D??二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 已知函数f(x)连续,且limx?01?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1,则f(0)?____.
(10)微分方程(y?xe)dx?xdy?0的通解是y?____.
(11)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. (12)曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______. (13)设z??232?x?z?y?,则??x?x?xy(1,2)?____.
(14)设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48,则??___.
三、解答题:15-23题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
sinx?sin?sinx??sinx???(15)(本题满分9分)求极限lim. 4x?0x
(16)(本题满分10分)
?dxx?x(t)??2te?x?0??设函数y?y(x)由参数方程?确定,其中x(t)是初值问题?dt的t2y??ln(1?u)du??xt?0?00???2y解.求2.
?x
43
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(17)(本题满分9分)求积分
(18)(本题满分11分)
求二重积分
?1xarcsinx1?x20dx.
??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
D
(19)(本题满分11分)
设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)?1.对任意的t??0,???,直线x?0,x?t,曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式.
(20)(本题满分11分)
(1) 证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点??[a,b],使得
?baf(x)dx?f(?)(b?a) (2)若函数?(x)具有二阶导数,且满足?(2)??(1),?(2)???(x)dx,证
23明至少存在一点??(1,3),使得???(?)?0
(21)(本题满分11分)
求函数u?x?y?z在约束条件z?x?y和x?y?z?4下的最大值与最小值.
(22)(本题满分12分)
22222?2a1?2a2aO设矩阵A???OO?a2????,现矩阵A满足方程AX?B,其中X??x,L,x?T,
1n1??2a?n?nB??1,0,L,0?,
(1)求证A??n?1?a;
n 44
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(2)a为何值,方程组有唯一解,并求x1; (3)a为何值,方程组有无穷多解,并求通解.
(23)(本题满分10分)
设A为3阶矩阵,?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量,向量?3满足A?3??2??3, (1)证明?1,?2,?3线性无关; (2)令P???1,?2,?3?,求P?1AP.
2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题:1~10小题,每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)当x?0?时,与x等价的无穷小量是 (A)1?ex (B)ln1?x (C)1?x?1 (D)1?cosx [ ]
1?x(ex?e)tanx(2)函数f(x)?在???,??上的第一类间断点是x? [ ] 1??x?ex?e??? (A)0 (B)1 (C)??? (D) 22(3)如图,连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周,设F(x)?确的是:
?x0f(t)dt,则下列结论正
45
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(A)F(3)??35F(?2) (B) F(3)?F(2) 4435(C)F(3)?F(2) (D)F(3)??F(?2) [ ]
44
(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是:
f(x)f(x)?f(?x)存在,则f(0)?0 (B)若lim存在,则f(0)?0 .
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) (C)若lim存在,则f?(0)?0 (D)若lim存在,则f?(0)?0.
x?0x?0xx (A)若lim [ ] (5)曲线y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x(A)0. (B)1. (C)2. (D)3. [ ]
(6)设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数,且f??(x)?0,令un?f(n),则下列结论正确的是:
(A) 若u1?u2 ,则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ,则?un?必发散
(C) 若u1?u2 ,则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ,则?un?必发散. [ ] (7)二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充要条件是[ ] (A)
(x,y)??0,0?lim?f(x,y)?f(0,0)??0.
(B)limx?0f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)?0,且lim?0.
y?0xy(C)
(x,y)??0,0?limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0.
46
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
(D)lim??0?fx?(x,0)?fx?(0,0)???0,且lim?y?0?fy?(0,y)?fy?(0,0)???0.
x(8)设函数f(x,y)连续,则二次积分??1?dxf(x,y)dy等于
2?sinx(A)?1dy?? (B)?10??arcsinyf(x,y)dx dy?0???arcsinyf(x,y)dx
(C)
?1??arcsiny1??arcsiny0dy??f(x,y)dx (D)?0dy??f(x,y)dx
22(9)设向量组?1,?2,?3线性无关,则下列向量组线性相关的是
线性相关,则 (A) ?1??2,?2??3,?3??1
(B) ?1??2,?2??3,?3??1
(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
(D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ?2?1?1??100?(10)设矩阵A????12?1??,B???010??,则A与B
???1?12????000??(A) 合同且相似 (B)合同,但不相似.
(C) 不合同,但相似. (D) 既不合同也不相似 [ 二、填空题:11~16小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (11) limarctanx?sinxx?0x3? __________. (12)曲线??x?cost?cos2t?1?sint上对应于t??的点处的法线斜率为_________.
?y4(13)设函数y?12x?3,则y(n)(0)?________. (14) 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为y?________. (15) 设f(u,v)是二元可微函数,z?f??y,x??xy?,则?x?z?z?x?y?y? __________.
??0100?(16)设矩阵A??0010???0001??,则A3
的秩为 .
?0000??
47
]
] 数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
三、解答题:17~24小题,共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本题满分10分)设f(x)是区间?0,???上单调、可导的函数,且满足??4??f(x)0f?1(t)dt??t0xcost?sintdt,其中f?1是f的反函数,求f(x).
sint?cost
(18)(本题满分11分) 设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域. (Ⅰ)求区域D
绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a);(Ⅰ)当a为何值时,V(a)最小?并求此最小值.
(19)(本题满分10分)求微分方程y??(x?y?)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.
(20)(本题满分11分)已知函数f(u)具有二阶导数,且f?(0)?1,函数y?y(x)由方程
2y?xe
y?1dz?1所确定,设z?f?lny?sinx?,求
dxd2zx?0,dx2x?0.
(21) (本题满分11分)设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得f??(?)?g??(?).
?x2,|x|?|y|?1?1(22) (本题满分11分) 设二元函数f(x,y)??,计算二重积分
,1?|x|?|y|?2?x2?y2???f(x,y)d?,其中D???x,y?|x|?|y|?2?.
D
(23) (本题满分11分)
?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解,求a的值及所有公共
?2?x1?4x2?ax3?0
48
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
解.
(24) (本题满分11分)
T设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)是A的属于?1的一个
特征向量,记B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.
(I)验证?1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量; (II)求矩阵B.
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分. 把答案填在题中横线上. (1)曲线y?x?4sinx 的水平渐近线方程为
5x?2cosx?1x2?3?0sintdt,x?0(2)设函数f(x)??x在x?0处连续,则a? .
??a, x?0(3)广义积分
???0xdx? .
(1?x2)2y(1?x)的通解是 xy(4)微分方程y??(5)设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定,则 (6)设矩阵A??dydxx?0? ?21??,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则
??12? B? .
二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在点x0处的增量,
49
数学二历年考研试题及答案详解(2003~2017)
?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则[ ]
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .
(8)设f(x)是奇函数,除x?0外处处连续,x?0是其第一类间断点,则
(A)连续的奇函数.
(9)设函数g(x)可微,h(x)?e
(A)ln3?1. (C)?ln2?1.
1?g(x)?x0f(t)dt是
(B)连续的偶函数
(D)在x?0间断的偶函数. [ ]
(C)在x?0间断的奇函数
,h?(1)?1,g?(1)?2,则g(1)等于
(B)?ln3?1. (D)ln2?1.
[ ]
x?2xx(10)函数y?C1e?C2e?xe满足的一个微分方程是
(A)y???y??2y?3xe. (C)y???y??2y?3xe.
?xx
40
1(B)y???y??2y?3e.
(D)y???y??2y?3e. [ ]
xx(11)设f(x,y)为连续函数,则
221?x2?d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
022(A)
?0dx?xf(x,y)dy. (B)?f(x,y)dx. (D)
0dx?1?x20f(x,y)dy.
(C)
?220dy?1?y2y?220dy?1?y20f(x,y)dx . [ ]
(12)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?y?(x,y)?0,已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件
?(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是 [ ]
(A) 若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0.
50
2003-2017考研数学二真题与解析
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