数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
?1?cosx,x?0?（1））若函数f(x)??在x?0处连续，则（ ） ax?b,x?0?(A)ab?1 2
(B)ab??1 2
(C)ab?0
(D)ab?2
【答案】A
1x1?cosx2?1,Qf(x)在x?0处连续?1?b?ab?1.选A. 【解析】lim?limx?0?x?0?ax2a2ax2a''（2）设二阶可导函数f(x)满足f(1)?f(?1)?1,f(0)??1且f(x)?0，则（ ）
(A)?f(x)dx?0?101?B???1f(x)dx?0?D???1f(x)dx??0f(x)dx011(C)?f(x)dx??f(x)dx?101
【答案】B 【解析】
f(x)为偶函数时满足题设条件，此时?f(x)dx??f(x)dx，排除C,D.
?1001取f(x)?2x?1满足条件，则
2?1?1f(x)dx??1?1?2x2?1?dx??2?0，选B. 3（3）设数列?xn?收敛，则（ ）
(A)当limsinxn?0时，limxn?0 (B)当lim(xn?n??n??n??xn)?0时，limxn?0
n??n??(C)当lim(xn?xn2)?0时，limxn?0 (D)当lim(xn?sinxn)?0时，limxn?0
n??n??n??
【答案】D
【解析】特值法：（A）取xn??，有limsinxn?0,limxn??，A错；
n??n?? 1
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
取xn??1，排除B,C.所以选D.
（4）微分方程的特解可设为 （A）Ae（C）Ae2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) （B）Axe2x?e2x(Bcos2x?Csin2x) ?xe2x(Bcos2x?Csin2x) （D）Axe2x?e2x(Bcos2x?Csin2x)
2x
【答案】A
【解析】特征方程为：??4??8?0??1,2?2?2i
**Qf(x)?e2x(1?cos2x)?e2x?e2xcos2x?y1?Ae2x,y2?xe2x(Bcos2x?Csin2x), ***2x2x故特解为：y?y1?y2?Ae?xe(Bcos2x?Csin2x),选C.
2
（5）设f(x,y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y)，都有
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0，则 ?x?y（A）f(0,0)?f(1,1) （B）f(0,0)?f(1,1) （C）f(0,1)?f(1,0) （D）f(0,1)?f(1,0) 【答案】C 【解析】数，
所以有f(0,1)?f(1,1)?f(1,0)，故答案选D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ）
?f(x,y)?f(x,y)?0,?0,?f(x,y)是关于x的单调递增函数，是关于y的单调递减函?x?y 2
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v(m/s)1020051015202530t(s)
（D）t0?25
（A）t0?10
【答案】B
（B）15?t0?20
（C）t0?25
【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为
?t00v1(t)dt,?v2(t)dt,则乙要追上甲，则
0t0?
t00v2(t)?v1(t)dt?10，当t0?25时满足，故选C.
?0????11（7）设A为三阶矩阵，P?(?1,?2,?3)为可逆矩阵，使得PAP?则A(?1,?2,?3)???，?2???（ ）
（A）?1??2 （B）?2?2?3 （C）?2??3 （D）?1?2?2
【答案】 B 【解析】
?0??0??0???????P?1AP??1?AP?P1?A(?,?,?)?(?,?,?)1123123???????2?2?3???2?2?2???????,
因此B正确。
?200??210??100???????（8）设矩阵A?021,B?020,C?020,则（ ） ??????????001???001???002??（A）A与C相似,B与C相似
（B）A与C相似,B与C不相似
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（C）A与C不相似,B与C相似
【答案】B 【解析】由
（D）A与C不相似,B与C不相似
?E?A?0可知A的特征值为2,2,1,
?100???因为3?r(2E?A)?1，∴A可相似对角化，即A~020
???002???由
?E?B?0可知B特征值为2,2,1.
因为3?r(2E?B)?2，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴A~C，但B不相似于C.
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) 曲线y?x?1?arcsin【答案】y?x?2 【解析】
??2??的斜渐近线方程为_______ x?Qlimy22?lim(1?arcsin)?1,lim?y?x??limxarcsin?2,x??xx??x??x??xx
?y?x?2?x?t?etd2y?______ (10) 设函数y?y(x)由参数方程?确定，则2dxt?0?y?sint【答案】? 【解析】
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dydxdycost?cost,?1?et??dtdtdx1?et?cost??ttd2y?d2y1?et??sint(1?e)?coste??2???22tdxdxdx?1?e?dt (11)
't?01??
8???0ln(1?x)dx?_______ 2(1?x)【答案】1 【解析】
???0ln(1?x)1dx??ln(1?x)d?(1?x)21?x0?ln(1?x)????1?x??????0????0?1dx? 2(1?x)???01dx?1.(1?x)2yy(12) 设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且df(x,y)?yedx?x(1?y)edy，f(0,0)?0，则
f(x,y)?______
【答案】xye
【解析】fx??yey,fy??x(1?y)ey,f(x,y)?y?yedx?xyeyy?c(y),故
fy??xey?xyey?c?(y)?xey?xyey，
因此c?(y)?0，即c(y)?C，再由f(0,0)?0，可得f(x,y)?xye.
【答案】 【解析】 （13）
y?10dy?tanxdx?______ yx1
【答案】lncos1.
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
【解析】交换积分次序：
1xtanx1tanx?0dy?yxdx??0dx?0xdy??0tanxdx?lncos1. 11?41?2??1?????（14）设矩阵A?12a的一个特征向量为1，则a?_____ ?????2???31?1????
【答案】-1
?1???【解析】设??1，由题设知A????，故
???2????41?2??1??1??1??????????????12a1??1?3?2a???????????? ?31?1??2??2??2??2????????????故a??1.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过．．．程或演算步骤.
?（15）（本题满分10分）求极限limx?0?x0x?tetdtx3 【答案】
2 3【解析】limx?0t?x0x?tetx0x3dt，令x?t?u，则有
x?u?x0x?tedt???uedu??x0uex?udu
原式=limx?0x?x0uex?udux32?limx?0ex?x0ueudux32??limx?00uedux32u
?limx?0xex32x21?23
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
dy（16）（本题满分10分）设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y?f(e,cosx)，求
dxxd2y，2
dxx?0
x?0
dy【答案】
dx【解析】
x?0d2y?f(1,1),2dx'1x?0''?f11(1,1), x?0y?f(e,cosx)?y(0)?f(1,1)?dydx??f1'ex?f2'??sinx??x?0x?0x?f1'(1,1)?1?f2'(1,1)?0?f1'(1,1) d2y''2x''x''x''2'x'?2?f11e?f12e(?sinx)?f21e(?sinx)?f22sinx?f1e?f2cosxdxd2y''?2?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)dxx?0结论：
dydx2?f1'(1,1)x?0''?f11(1,1)?f1'(1,1)?f2'(1,1)x?0dydx2
（17）（本题满分10分）求limk?k?ln?1?? ?2n??n?n?k?1n【答案】【解析】
1 411kk111lim?2ln(1?)??xln(1?x)dx??ln(1?x)dx2?(ln(1?x)?x20n??n202k?1nn10??0x2?1?11dx)?
1?x4
（18）（本题满分10分）已知函数y(x)由方程x?y?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值 【答案】极大值为y(1)?1，极小值为y(?1)?0 【解析】
两边求导得：
7
33数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
3x2?3y2y'?3?3y'?0 （1）
令y'?0得x??1
对（1）式两边关于x求导得 6x?6y?y'??3y2y''?3y''?0 （2）
2?x?1?x??1将x??1代入原题给的等式中，得?， or?y?1y?0??将x?1,y?1代入（2）得y''(1)??1?0 将x??1,y?0代入（2）得y''(?1)?2?0
故x?1为极大值点，y(1)?1；x??1为极小值点，y(?1)?0
（19）（本题满分10分）设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)?0,lim?x?0f(x)?0，证x明：
(?)方程f(x)?0在区间(0,1)内至少存在一个实根；
(?)方程f(x)f'(x)?(f'(x))2?0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】 【解析】
（I）f(x)二阶导数，f(1)?0,lim?x?0f(x)?0 x解：1）由于lim?f(x)?0，根据极限的保号性得
x?0xf(x)???0,?x?(0,?)有?0，即f(x)?0
x进而?x0?(0,?)有f????0
又由于f(x)二阶可导，所以f(x)在[0,1]上必连续
那么f(x)在[?,1]上连续，由f(?)?0,f(1)?0根据零点定理得： 至少存在一点??(?,1)，使f(?)?0，即得证
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（II）由（1）可知f(0)?0，???(0,1),使f(?)?0，令F(x)?f(x)f'(x)，则f(0)?f(?)?0 由罗尔定理???(0,?),使f'(?)?0，则F(0)?F(?)?F(?)?0， 对F(x)在(0,?),(?,?)分别使用罗尔定理：
??1?(0,?),?2?(?,?)且?1,?2?(0,1),?1??2，使得F'(?1)?F'(?2)?0，即
F'(x)?f(x)f''(x)??f'(x)??0在(0,1)至少有两个不同实根。
得证。
（20）（本题满分11分）已知平面区域D?2??x,y?|x2 ?y?2y?,计算二重积分???x?1?dxdy。
22D【答案】【
5? 4解
2析
?2202sin?】
???x?1?dxdy????xDD2?1?dxdy?2??xdxdy???dxdy?2?d??DD0r2cos2?d????5? 4（21）（本题满分11分）设y(x)是区间?0,?内的可导函数，且y(1)?0，点P是曲线L: y?y(x)上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点0,Yp，法线与x轴相交于点Xp,0，若Xp?Yp，求L上点的坐标?x,y?满足的方程。 【答案】
【解析】设p?x,y(x)?的切线为Y?y(x)?y?(x)?X?x?，令X?0得Yp?y(x)?y?(x)x，法线
??3?2?????Y?y(x)??1X?x?,令Y?0得Xp?x?y(x)y?(x)。由Xp?Yp得y?xy?(x)?x?yy?(x)，?y?(x)即?yy?y???1?y(x)??1。令?u，则y?ux，按照齐次微分方程的解法不难解出
xx?x?1ln(u2?1)?arctanu??ln|x|?C, x
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（22）（本题满分11分）设3阶矩阵A???1, ?2,?3?有3个不同的特征值，且?3??1?2?2。
(?)证明：r(A)?2
(?)若???1??2??3，求方程组Ax??的通解。
?1??1?????【答案】（I）略；（II）通解为k2?1,k?R
??????1??1?????【解析】
（I）证明：由?3??1?2?2可得?1?2?2??3?0，即?1,?2,?3线性相关， 因此，A??1?2?3?0，即A的特征值必有0。
???,?1??2?0 0??又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
??1?且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为???2???∴r(A)?r(?)?2
（II）由（1）r(A)?2，知3?r(A)?1，即Ax?0的基础解系只有1个解向量，
?1??1??1???????由?1?2?2??3?0可得??1,?2,?3?2?A2?0，则Ax?0的基础解系为2，
????????1???1???1????????1??1??1???????又???1??2??3，即??1,?2,?3?1?A1??，则Ax??的一个特解为1，
???????1??1??1????????1??1?????综上，Ax??的通解为k2?1,k?R
??????1??1?????222（23）（本题满分11分）设二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?ax3?2x1x2?8x1x3?2x2x3在正交变换
2X?QY下的标准型?1y12??2y2，求a的值及一个正交矩阵Q.
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
??1?11??326?【答案】a?2;Q????102??22?36?,f x?Qy ?3y1?6y2 ??111???326??【解析】
?21?4?f(xTAX，其中A???1?11?1,x2,x3)?X?
???41a??由于f(x,xT221,x23)?XAX经正交变换后，得到的标准形为?1y1??2y2，
21?4故r(A)?2?|A|?0?1?11?0?a?2， ?41a?21将a?2代入，满足r(A)?2，因此a?2符合题意，此时A???1?1???41??2?14|?E?A|??1??1?1?0??1??3,?2?0,?3?6，
4?1??2?由(?3E?A)x?0，可得A的属于特征值-3的特征向量为??1??1???1??；
?1???由(6E?A)x?0，可得A的属于特征值6的特征向量为???1??0?2?
???1???1由(0E?A)x?0，可得A的属于特征值0的特征向量为????3??2
??1??? 11
?4?1?2?，则??
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
??3???令P???1,?2,?3?，则P?1AP?6??，由于?1,?2,?3彼此正交，故只需单位化即可：
?0????1?111TTT?1,?1,1?,?2???1,0,1?,?3??1,2,1?,， 32??1?1?32则Q????11?2?3????0?3??11?32f(x21,x2,x3) x?Qy ?3y21?6y2 61?6?2????36?，QTAQ??1?????6??12
?6? 0???数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
2016年考研数学二真题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1１．当x?0时，若ln(1?2x)，(1?cosx)?均是比x高阶的无穷小，则?的可能取值范围是（ ）
（A）(2,??) （B）(1,2) （C）(,1) （D）(0,) 2．下列曲线有渐近线的是
2（A）y?x?sinx （B）y?x?sinx（C）y?x?sin??1212112 （D）y?x?sin
xx【详解】对于y?x?sin应该选（C）
1y1，可知lim?1且lim(y?x)?limsin?0，所以有斜渐近线y?x
x??xx??x??xx3．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)?f(0)(1?x)?f(1)x，则在[0,1]上（ ）
（A）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （B）当f'(x)?0时，f(x)?g(x) （C）当f??(x)?0时，f(x)?g(x) （D）当f??(x)?0时，f(x)?g(x)
?x?t2?7,4．曲线? 上对应于t?1的点处的曲率半径是（ ）
2?y?t?4t?1（Ａ）
1010（Ｂ） (Ｃ）1010 （Ｄ）510 501005．设函数f(x)?arctanx，若f(x)?xf'(?)，则limx?0?2x2?（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
211 （Ｃ） （Ｄ）
332 13
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
?2u?0及6．设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足
?x?y?2u?2u?2?0，则（ ）． 2?x?y
（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；
（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．
0a7．行列式
b0b等于 0a000cdc00d22（A）(ad?bc) （B）?(ad?bc) （C）a2d2?b2c2 （D）?a2d2?b2c2
8．设?1,?2,?3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?1?k?3，?2?l?3线性无关是向量
?1,?2,?3线性无关的
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．
?1??1dx? ．
x2?2x?510．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)?2(x?1),x??0,2?，则f(7)? ． 11．设z?z(x,y)是由方程e2yz?x?y2?z?7确定的函数，则dz|?11?? ．
?,?4?22? 14
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
12．曲线L的极坐标方程为r??，则L在点(r,?)??????,?处的切线方程为 ． ?22?213．一根长为1的细棒位于x轴的区间?0,1?上，若其线密度?(x)??x?2x?1，则该细棒的质心坐标x? ．
2214．设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?2ax1x3?4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围
是 ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
1t?求极限limx???x1(t(e?1)?t)dt1x2ln(1?)x．
216．（本题满分10分）
已知函数y?y(x)满足微分方程x?yy'?1?y'，且y(2)?0，求y(x)的极大值和极小值． 17．（本题满分10分）
设平面区域D?(x,y)|1?x?y?4,x?0.y?0．计算18．（本题满分10分）
22?22???Dxsin(?x2?y2)dxdy
x?y?2z?2zx2x??(4z?ecosy)e设函数f(u)具有二阶连续导数，z?f(ecosy)满足．若22?x?yxf(0)?0,f'(0)?0，求f(u)的表达式．
19．（本题满分10分）
设函数f(x),g(x)在区间?a.b?上连续，且f(x)单调增加，0?g(x)?1，证明： （1） 0?（2）
?bxag(t)dt?x?a,x??a,b?；
?a??ag(t)dtaf(x)dx??f(x)g(x)dx．
ab20．（本题满分11分）
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
设函数f(x)?x,x??0,1?，定义函数列 1?xf1(x)?f(x)，f2(x)?f(f1(x))，?,fn(x)?f(fn?1(x)),?
设Sn是曲线y?fn(x)，直线x?1,y?0所围图形的面积．求极限limnSn．
n??21．（本题满分11分） 已知函数f(x,y)满足
?f?2(y?1)，且f(y,y)?(y?1)2?(2?y)lny，求曲线f(x,y)?0所?y成的图形绕直线y??1旋转所成的旋转体的体积． 22．（本题满分11分）
?1?23?4???设A??01?11?，E为三阶单位矩阵．
?1203???（1） 求方程组AX?0的一个基础解系； （2） 求满足AB?E的所有矩阵．
23．（本题满分11分）
?11???11?证明n阶矩阵?????11??1??0??1??0与???????1???0??01??02?相似． ?????0n??2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题
一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求
的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1) 下列反常积分收敛的是 ( ) (A)
???21dx (B) x???2lnx (C)
dxxx2sintt)???21(D) dxxlnx
???2x dxex (2) 函数f?x??lim(1?t?0x 在(??,??)内( )
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点
1??xcos,x?0??x(??0,??0),若f'?x?在x?0处连续则:( ) (3) 设函数f?x?????0,x?0(A)????0 (B)0?????1 (C)????2 (D)0?????2
(4)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线y?f(x)的拐
点的个数为( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(5) 设函数f?u,v?满足f?x?y,??x?y ，则
x??u?22?y??fu?1与v?1?f?vu?1v?1 依次是 ( )
(A)
1111,0 (B) 0, (C) ?,0 (D) 0,?
22223x围成的平面区域，函数f?x,y?4xy?1与直线y?x，y?(6)设D是第一象限由曲线2xy?1，
在D上连续，则
??f?x,y?dxdy? ( )
D?(A)
???d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr
(B)
??d??341sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??dr
?(C)
??d??34?(D)
??d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr
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数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
?1??111????? (7) 设矩阵A??12a?,b??d?.若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷多解的充
???14a2??d2?????分必要条件为 ( )
(A) a??,d?? (B) a??,d?? (C) a??,d?? (D) a??,d??
222 (8) 设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换x?Py下的标准形为2y1，其中P?(e1,e2,e3)，?y2?y3若Q?(e1,?e3,e2)则f?(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准形为( )
222222(A)2y1 (B) 2y1 ?y2?y3?y2?y3222222(C) 2y1 (D) 2y1?y2?y3?y2?y3
二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
?x?arctantd2y (9) ? 则 23dxy?3t?t?2xt?1? n(10)函数f(x)?x?2在x?0处的n阶导数f(0)?_________ (11) 设f?x?连续，??x???x20xf?t?dt，若??1??1,???1??5，则f?1??
'''(12)设函数y?y?x?是微分方程y?y?2y?0的解，且在x?0处yx取得极值3，则yx= .
(13)若函数Z?z?x,y?由方程ex?2y?3z?????xyz?1确定，则dz?0,0?= .
(14) 若3阶矩阵A的特征值为2,?2,1，B?A2?A?E，其中E为3阶单位阵，则行列式
B? .
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过．．．
18
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
程或演算步骤. (15) (本题满分10分）
设函数f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx.若f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小，求
3a,b,k的值.
(16) (本题满分10分)
设A>0，D是由曲线段y?Asinx(0?x??2)及直线y?0，x??2所围成的平面区域，V1，V2分
别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若V1?V2，求A的值.
(17) (本题满分11分)
已知函数f(x,y)满足fxy\(x,y)?2(y?1)ex，fx(x,0)?(x?1)e，f(0,y)?y?2y，求 f(x,y)的极值.
(18) (本题满分10分) 计算二重积分
(19)(本题满分 11 分) 已知函数f?x??
(20) (本题满分10分)
已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差
成正比，现将一初始温度为120?C的物体在20?C的恒温介质中冷却，30min后该物体降至
222x(x?y)dxdy，其中D?(x,y)x?y?2,y?x????'x2D
?1x1?t2dt??1X21?tdt，求f?x?零点的个数？
30?C，若要将该物体的温度继续降至21?C，还需冷却多长时间？
(21) (本题满分10分)
已知函数f?x?在区间?a，设b?a，+??上具有2阶导数，f?a??0，f??x??0，f''?x??0，
19
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
曲线y?f?x?在点b,f?b?处的切线与x轴的交点是?x0，0?，证明a?x0?b. (22) (本题满分 11 分)
???a10???设矩阵A??1a?1?且A3?O.
?01a???(1) 求a的值；
(2) 若矩阵X满足X?XA2?AX?AXA2?E，E为3阶单位阵，求X.
(23) (本题满分11 分)
?1?20??02?3?????设矩阵A???13?3?相似于矩阵B??0b0?.
?1?2a??031?????（1）求a,b的值；
（2）求可逆矩阵P，使P?1AP为对角阵.
20
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
21
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
22
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
23
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
2013
年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．设cosx?1?xsin?(x),?(x)??2，当x?0时，??x? （ ）
（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价无穷小 （D）与x等价无穷小
2．已知y?f?x?是由方程cos?xy??lny?x?1确定，则limn???f??2???n????n??1????（（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 ３．设f(x)???sinx,x?[0,?)?2,x?[?,2?]，F(x)??x0f(t)dt则（ ）
（Ａ）x??为F(x)的跳跃间断点． （Ｂ）x??为F(x)的可去间断点．（Ｃ）F(x)在x??连续但不可导． （Ｄ）F(x)在x??可导．
24
）
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
1?,1?x?e??1???(x?1)?４．设函数f(x)??，且反常积分?f?x?dx收敛，则（ ）
?1,x?e??1??xlnx（A）???2 （B）a?2 （C）?2?a?0 （D）0???2 ５．设函数z?x?z?zy??（ ） f?xy?，其中f可微，则
y?x?yx22f(xy) （D）?f(xy) xx(x,y)|x2?y2?1?的第k象限的部分，记Ik???(y?x)dxdy，则（ ） 6．设Dk是圆域D??（A）2yf'(xy) （B）?2yf'(xy)（C）
Dk（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 7．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
?1a1??200?????8．矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是
?1a1??000?????（A）a?0,b?2 （B）a?0，b为任意常数 （C）a?2,b?0 （D）a?2，b为任意常数
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9． lim?2??x?0?ln(1?x)??? ． x?1x10．设函数f(x)??x?11?etdt，则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在y?0处的导数
dx|y?0? ． dy 25
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
11．设封闭曲线L的极坐标方程为r?cos3???面积为 ．
????????t为参数，则L所围成的平面图形的
6??6??x?arctant12．曲线上?对应于t?1处的法线方程为 ．
2??y?ln1?t3x2xx2x2x13．已知y1?e?xe,y2?e?xe,y3??xe是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则满
足y(0)?0,y'(0)?1方程的解为 ．
14．设A?aij是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij的代数余子式，且满足
??Aij?aij?0(i,j?1,2,3)，则A= ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
当x?0时，1?cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a,n． 16．（本题满分10分） 设D是由曲线y?3x，直线x?a(a?0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10Vx?Vy，求a的值． 17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线x?3y,y?3x,x?y?8所围成，求18．（本题满分10分）
设奇函数f(x)在??1,1?上具有二阶导数，且f(1)?1，证明： （1）存在??(0,1)，使得f'????1；
（2）存在??(?1,1)，使得f??(?)?f?(?)?1． 19．（本题满分10分）
求曲线x?xy?y?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20．（本题满分11）
26
33??xdxdy．
D2数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
设函数f(x)?lnx?1 x⑴求f(x)的最小值； ⑵设数列?xn?满足lnxn?21．（本题满分11） 设曲线L的方程为（1）求L的弧长．
（2）设D是由曲线L，直线x?1,x?e及x轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标． 22．本题满分11分） 设A???1xn?1?1，证明极限limxn存在，并求此极限．
n??y?121x?lnx(1?x?e)． 42?1a??01????，问当a,b为何值时，存在矩阵C，使得AC?CA?B，并求出所有矩,B?????10??1b?阵C．
23（本题满分11分）
?a1??b1?????22??a,??f(x,x,x)?2(ax?ax?ax)?(bx?bx?bx)设二次型．记?2??b2?． 123112233112233?a??b??3??3?（1）证明二次型f对应的矩阵为 2?????；
（2）若?,?正交且为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为 2y1?y2．
22TT
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要
求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x2?x(1)曲线y?2的渐近线条数 ( )
x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)L(enx?n)，其中n为正整数,则f?(0)? ( )
27
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn!
(3) 设an?0(n?1,2,3L),Sn?a1?a2?a3?L?an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的
( )
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
k?2(4) 设Ik??exsinxdx,(k?1,2,3),则有
0 ( )
(A) I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D) I2?I1?I3 (5) 设函数f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y都有
?(x,y)?(x,y)?0,?0,则使不等式?x?yf(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个充分条件是
( )
(A) x1?x2,y1?y2 (B) x1?x2,y1?y2 (C) x1?x2,y1?y2 (D) x1?x2,y1?y2 (6) 设区域D由曲线y?sinx,x???2,y?1围成，则??(x5y?1)dxdy?
D ( )
(A) ? (B) 2 (C) -2 (D) -?
?0??0??1???1????????? (7) 设α1??0?,α2??1? ,α3???1? ,α4??1? ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组?c??c??c??c??3??4??1??2?线性相关的为 ( )
(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4
?100???(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P?1AP??010?.若P??α1,α2,α3?，?002???Q??α1?α2,α2,α3?则Q?1AQ? ( )
28
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
?100??100??200??200?????????(A) ?020? (B) ?010? (C) ?010? (D)?020? ?001??002??002??001?????????
二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
d2y(9) 设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数，则2dx2yx?0? . (10)limn? ?2?L?2?222?n??1?n2?nn?n?? . (11) 设z?f?lnx??111????z1?2?zx?y? . ,fu?其中函数??可微，则?x?yy?(12) 微分方程ydx?x?3y2dy?0满足条件y(13) 曲线y?x?x?x?0?上曲率为2*
??x?1?1的解为y? .
2的点的坐标是 . 2(14) 设A为3阶矩阵，A=3，A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则
BA*? .
三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过．．．程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分)
已知函数f?x??(I)求a的值;
(II)若x?0时，f?x??a与x是同阶无穷小，求常数k的值.
k1?x1?，记a?limf?x?，
x?0sinxx(16)(本题满分 10 分)
求函数f?x,y??xe?x2?y22的极值.
(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线L:y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.
29
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
(18)(本题满分 10 分)
计算二重积分
??xyd?，其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.
D(19)(本题满分10分)
已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex, (I) 求f(x)的表达式;
(II) 求曲线y?f(x2)?f(?t2)dt的拐点.
0x(20)(本题满分10分)
1?xx2 证明xln,(?1?x?1). ?cosx?1?1?x2(21)(本题满分10 分)
(I)证明方程xn+xn-1?L?x?1n?1的整数，在区间????1?,1?内有且仅有一个实根； ?2?(II)记(I)中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限.
n??(22)(本题满分11 分)
?1?0设A???0??aa00??1????1a0??1，????
?0?01a????001??0?(I) 计算行列式A；
(II) 当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解.
(23)(本题满分11 分)
?1?0?已知A???1??0011??1?，二次型f?x1,x2,x3??xT?ATA?x的秩为2，
0a??a?1?(I) 求实数a的值；
(II) 求正交变换x?Qy将f化为标准形.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．
30
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（1）已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cxk是等价无穷小，则（ ）
（A）k?1,c?4 （B）k?1,c??4 （C）k?3,c?4 （D）k?3,c??4
x2f(x)?2f(x3)?（ ） （2）设函数f(x)在x?0处可导，且f(0)?0，则lim3x?0x（A）?2f?(0) （B）?f?(0) （C）f?(0) （D）0 （3）函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （4）微分方程y????y?e（A）a(e?x2?x?e??x(??0)的特解形式为（ ）
?e??x) （B）ax(e?x?e??x) ?be??x) （D）x2(ae?x?be??x)
（C）x(ae?x（5）设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)?0，g(0)?0，f?(0)?g?(0)?0则函
数z?f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A）f??(0)?0，g??(0)?0 （B）f??(0)?0，g??(0)?0 （C）f??(0)?0，g??(0)?0 （D）f??(0)?0，g??(0)?0
??0?0（6）设I??40则I，J，K的大小关系为（ ） lnsinxdx，J??4lncotxdx，K??4lncosxdx，
（A）I?J?K （B）I?K?J （C）J?I?K （D）K?J?I
（7）设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩
?100??100?????10?，P2??001?，则A=（ ） 阵。记P1??1?001??010?????
31
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（A）P1P2 （C）P2P1 1P2 （B）P1 （D）P2P?1?1,0,1,0)是方程组Ax?0的一（8）设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵。若(1 个基础解系，则A*x?0的基础解系可为（ ）
（A）?1,?3 （B）?1,?2 （C）?1,?2,?3 （D）?2,?3,?4 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。 ．．．（9）lim??T?1?2x?0?2x???? 。 ?'?x1x（10）微分方程y?y?e（11）曲线y?cosx满足条件y(0)?0的解为y? 。
?x0tantdt (0?x??4)的弧长s? 。
????e?kx,x?0,（12）设函数f(x)?? ??0，则?xf(x)dx? 。
??x?0,?0,（13）设平面区域D由直线y?x，圆x?y?2y及y轴所围成，则二重积分
22??xyd?? 。
D222（14）二次型f(x1,x2,x3)?x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3，则f的正惯性指数
为 。
三、解答题：15～23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、 ．．．
证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分）
? 已知函数F(x)?
x0ln(1?t2)dtx?，设limF(x)?lim?F(x)?0，试求?的取值范围。
x???x?0（16）（本题满分11分）
32
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
131?x?t?t?,??33 确定，求
设函数y?y(x)由参数方程?y?y(x)的极值和曲线y?y(x)的
?y?1t3?t?1?33?凹凸区间及拐点。
（17）（本题满分9分）
设函数z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x?1处取
?2z得极值g(1)?1，求
?x?y
（18）（本题满分10分）
。
x?1,y?1 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y?y(x)与直线y?x相切于原点，记?为曲线l在点
(x,y)处切线的倾角，若
（19）（本题满分10分）
d?dy，求y(x)的表达式。 ?dxdx （I）证明：对任意的正整数n，都有
1?1?1?ln?1???成立。 n?1?n?n （II）设an?1?
11????lnn(n?1,2,?)，证明数列?an?收敛。 2n（20）（本题满分11分）
一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由x2?y2?2y(y?1)与21x2?y2?1(y?)连接而成。
2 （I）求容器的容积；
（II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？
（长度单位：m，重力加速度为gms，水的密度为10kgm）
33
233数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（21）（本题满分11分）
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)?0，f(x,1)?0，
其中D?(x,y)0?x?1,0?y?1，计算二重积分I?
（22）（本题满分11分）
T 设向量组?1?(1,0,1)，?2?(0,1,1)，?3?(1,3,5)不能由向量组?1?(1,1,1)，
??f(x,y)dxdy?a，
D????xyf??(x,y)dxdy。
xyDTTT?2?(1,2,3)T，?3?(3,4,a)T线性表示。
（I）求a的值；
（II）将?1,?2,?3用?1,?2,?3线性表示。
（23）（本题满分11分）
?11???11?????0???00?。 设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A?0??11??11????? （I）求A的所有的特征值与特征向量； （II）求矩阵A。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一选择题
x2?x11?2的无穷间断点的个数为 (1) 函数f(x)?2x?1xA0 B1 C2 D3
2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?,?使?y1??y2是该方程的解，?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则 A??
1111,?? B???,??? 222234
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
C??23,??13 D??223,??3 (1) 曲线y?x2与曲线y?alnx(a?0)相切，则a? A4e B3e C2e De m4.设m,n为正整数,则反常积分
?1ln2(1?x)0nxdx的收敛性
A仅与m取值有关 B仅与n取值有关
C与m,n取值都有关 D与m,n取值都无关
5.设函数z?z(x,y)由方程F(y,z)?0确定,其中F为可微函数,且F?z?xx2??0,则x?x?yz?y= Ax
Bz C?x D?z
nn6.(4)limnx????)(n?j)= i?1j?1(n?i22 A
?1x10dx?0(1?x)(1?y2)dy B?10dx?x10(1?x)(1?y)dy C
?1111110dx?0(1?x)(1?y)dy
D
?0dx?0(1?x)(1?y2)dy
7.设向量组I:?1,?2,?，?r可由向量组II：?1，?2，?，?s线性表示，下列命题正确的是： A若向量组I线性无关，则r?s B若向量组I线性相关，则r>s
C若向量组II线性无关，则r?s D若向量组II线性相关，则r>s
??1(A) 设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于A?1??1???1??1???1?????1????1?? ?1? ??1?C???1?D???1??0???
?0????0??二填空题
9.3阶常系数线性齐次微分方程y????2y???y??2y?0的通解y=__________
35
???? B0??数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
2x310.曲线y?2的渐近线方程为_______________
x?111.函数y?ln(1?2x)在x?0处的n阶导数y?(n)(0)?__________
12.当0????时，对数螺线r?e的弧长为___________
13.已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为___________
14.设A，B为3阶矩阵，且A?3,B?2,A?1?B?2,则A?B?1?__________ 三解答题 15.求函数f(x)?16.(1)比较
?x21(x2?t)e?tdt的单调区间与极值。
n2?10lnt[ln(1?t)]dt与?tnlntdt(n?1,2,L)的大小,说明理由.
01 (2)记un??10lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,L),求极限limun.x??
设函数y=f(x)由参数方程17.2?x?2t?t,5(t??1)所确定，其中?(t)具有2阶导数，且?(1)?，?2?y??(t),d2y3??(1)?6，已知2?,求函数?(t)。 dx4(1?t)18.一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油
3b面高度为2时，计算油的质量。
（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为19.
?kg/m3）
?2u?2u?2u设函数u?f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42?12?52?0.?x?x?y?y?2u确定a,b的值，使等式在变换??x?ay,??x?by下简化?0????
计算二重积分I???r2sin?1?r2cos2?drd?,其中D?｛(r,?)0?r?sec?,0???}.4 20.D
36
?数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
121.设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=3,证明：存在
??(0,),??(,1),使得f?(?)?f?(?)??2??2.22.
1212
???设A??0?1?1??111??a????0?,b??1?.已知线性方程组Ax?b存在2个不同的解。?1??????23.设
（1）求?、a.(2)求方程组Ax?b的通解。?0?14???1A???13a?，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为(1,2,1)T，求a、Q.
6?4a0???
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?x3（1）函数f?x??的可去间断点的个数，则（ ）
sinnx?A?1.
?B?2. ?C?3.
2?D?无穷多个.
（2）当x?0时，f?x??x?sinax与g?x??xln?1?bx?是等价无穷小，则（ ）
?A?a?1,b??1. 6?B?a?1,b?111. ?C?a??1,b??. ?D?a??1,b?. 666（3）设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy，则点?0,0?（ ）
?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点. ?C?是f?x,y?的极大值点. ?D?是f?x,y?的极小值点.
37
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（4）设函数f?x,y?连续，则
?21dx?f?x,y?dy??dy?x1224?yyf?x,y?dx?（ ）
?A??12dx?4?x1f?x,y?dy.
?B??12dx?4?xxf?x,y?dy.
?C??1dy?1内（ ）
24?yf?x,y?dx.
?D?.?1dy?yf?x,y?dx
2222（5）若f???x?不变号，且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x?y?2，则f?x?在区间?1,2??A?有极值点，无零点. ?B?无极值点，有零点. ?C?有极值点，有零点. ?D?无极值点，无零点.
（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：
O -2 0 -1 x1 2 3
则函数F?x???f?t?dt的图形为（ ）
0 1 1 -2 0 -1 1 2 3 ?B?.
-2 -1 0 1 2 3
?A?.
38
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
1 0 1 0 -1 -1 1 2 3
-2 1 2 3
?C?.?D?.
（7）设A、B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A、B的伴随矩阵。若A=2，B=3，则分块矩阵
?0??BA??的伴随矩阵为（ ） 0?
?03B*??A?.?*?
0??2A?0?C?.?*?2B3A*?? 0??0.B???*?3A?0?D?.?*?3B2B*?? 0?2A*?? 0?
?100???TT（8）设A，P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP=?010?，若
?002???TP=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3），则QAQ为（ ）
?210??110?A?.??? ?002????200??010?C?.??? ?002???
?110??120?B?.??? ?002????100?
?
020?D?.??? ?002???
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
1-t?u2??x=?edu（9）曲线?在处的切线方程为 （0，0）0?y?t2ln(2?t2)?
39
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（10）已知
+?kx???edx?1,则k? （11）lim1?xesinnxdx? n???0yd2y（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则2dx（13）函数y?x2xx=0=
在区间?01，?上的最小值为
?200???TTT(14)设?，?为3维列向量，?为?的转置，若矩阵??相似于?000?，则??= ?000???
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）求极限limx?0?1?cosx??x?ln(1?tanx)?sinx4
（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1??1?x)dx (x?0) x?2z（17）（本题满分10分）设z?f?x?y,x?y,xy?，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与
?x?y
（18）（本题满分10分）
设非负函数y?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。
（19）（本题满分10分）求二重积分其中D?
???x?y?dxdy，
D??x,y??x?1???y?1?22?2,y?x
40
?数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（20）（本题满分12分）
（-设y?y(x)是区间内过（-?，?）?，）的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点处的法
22?线都过原点，当0?x??时，函数y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式
（21）（本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则存在???a,b?，使得f?b??f?a??f?????b?a?（Ⅰ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可
f??x??A，则f???0?存在，且f???0??A。 导，且lim?x?0
?1?1?1???1?????1?，?1??1? （22）（本题满分11分）设A???11?0?4?2???2?????2（Ⅰ）求满足A?2??1,A?3??1的所有向量?2,?3
（Ⅰ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。
（23）（本题满分11分）设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3
222（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；
22（Ⅰ）若二次型f的规范形为y1，求a的值。 ?y2
2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
41
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
2（1）设f(x)?x(x?1)(x?2)，则f(x)的零点个数为（ ）
'?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3
（2）曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分
?a0aft(x)dx（ ）
?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.
x（3）在下列微分方程中，以y?C1e?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是
（ ）
?A?y'''?y''?4y'?4y?0 ?C?y'''?y''?4y'?4y?0
?B?y?y?4y?4y?0
''''''
?D?y'''?y''?4y'?4y?0
（5）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
（6）设函数f连续，若F(u,v)?Duv
?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则
?F? ?u??f(x2?y2)x2?y2vf(u2) uv?C?vf(u) ?D?f(u)
u?A?vf(u2) ?B?
3（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A?0，则（ ）
?A?E?A不可逆，E?A不可逆.
?B?E?A不可逆，E?A可逆.
42
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
?C?E?A可逆，E?A可逆.
（8）设A??
?D?E?A可逆，E?A不可逆.
?12??，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） ?21?
??21??A???.
1?2???21?C????.
?12?
?2?1??B???.
?12???1?2??.
??21? ?D??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数f(x)连续，且limx?01?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1，则f(0)?____.
（10）微分方程(y?xe)dx?xdy?0的通解是y?____.
（11）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. （12）曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______. （13）设z??232?x?z?y?，则??x?x?xy(1,2)?____.
（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.
三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
sinx?sin?sinx??sinx???(15)（本题满分9分）求极限lim. 4x?0x
(16)（本题满分10分）
?dxx?x(t)??2te?x?0??设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题?dt的t2y??ln(1?u)du??xt?0?00???2y解.求2.
?x
43
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
(17)（本题满分9分）求积分
(18)（本题满分11分）
求二重积分
?1xarcsinx1?x20dx.
??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
D
(19)（本题满分11分）
设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的t??0,???，直线x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式.
(20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得
?baf(x)dx?f(?)(b?a) (2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足?(2)??(1),?(2)???(x)dx，证
23明至少存在一点??(1,3),使得???(?)?0
（21）（本题满分11分）
求函数u?x?y?z在约束条件z?x?y和x?y?z?4下的最大值与最小值.
（22）（本题满分12分）
22222?2a1?2a2aO设矩阵A???OO?a2????，现矩阵A满足方程AX?B，其中X??x,L,x?T，
1n1??2a?n?nB??1,0,L,0?，
（1）求证A??n?1?a；
n 44
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.
（23）（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足A?3??2??3， （1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P???1,?2,?3?，求P?1AP.
2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0?时，与x等价的无穷小量是 （A）1?ex （B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]
1?x(ex?e)tanx（2）函数f(x)?在???,??上的第一类间断点是x? [ ] 1??x?ex?e??? （A）0 （B）1 （C）??? （D） 22（3）如图，连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)?确的是：
?x0f(t)dt，则下列结论正
45
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（A）F(3)??35F(?2) (B) F(3)?F(2) 4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ]
44
（4）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 .
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) （C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0.
x?0x?0xx （A）若lim [ ] （5）曲线y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ]
（6）设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：
(A) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散
(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. [ ] （7）二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充要条件是[ ] （A）
(x,y)??0,0?lim?f(x,y)?f(0,0)??0.
（B）limx?0f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)?0,且lim?0.
y?0xy（C）
(x,y)??0,0?limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0.
46
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
（D）lim??0?fx?(x,0)?fx?(0,0)???0,且lim?y?0?fy?(0,y)?fy?(0,0)???0.
x（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分??1?dxf(x,y)dy等于
2?sinx（A）?1dy?? （B）?10??arcsinyf(x,y)dx dy?0???arcsinyf(x,y)dx
（C）
?1??arcsiny1??arcsiny0dy??f(x,y)dx （D）?0dy??f(x,y)dx
22（9）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
线性相关，则 (A) ?1??2,?2??3,?3??1
(B) ?1??2,?2??3,?3??1
(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1.
(D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ?2?1?1??100?（10）设矩阵A????12?1??,B???010??，则A与B
???1?12????000??(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.
(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） limarctanx?sinxx?0x3? __________. （12）曲线??x?cost?cos2t?1?sint上对应于t??的点处的法线斜率为_________.
?y4（13）设函数y?12x?3，则y(n)(0)?________. （14） 二阶常系数非齐次微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为y?________. （15） 设f(u,v)是二元可微函数，z?f??y,x??xy?，则?x?z?z?x?y?y? __________.
??0100?（16）设矩阵A??0010???0001??，则A3
的秩为 .
?0000??
47
]
] 数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设f(x)是区间?0,???上单调、可导的函数，且满足??4??f(x)0f?1(t)dt??t0xcost?sintdt，其中f?1是f的反函数，求f(x).
sint?cost
（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D
绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；（Ⅰ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.
（19）（本题满分10分）求微分方程y??(x?y?)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.
（20）（本题满分11分）已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程
2y?xe
y?1dz?1所确定，设z?f?lny?sinx?，求
dxd2zx?0,dx2x?0.
（21） (本题满分11分)设函数f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).
?x2,|x|?|y|?1?1（22） (本题满分11分) 设二元函数f(x,y)??，计算二重积分
,1?|x|?|y|?2?x2?y2???f(x,y)d?，其中D???x,y?|x|?|y|?2?.
D
（23） (本题满分11分)
?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共
?2?x1?4x2?ax3?0
48
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
解.
（24） (本题满分11分)
T设三阶对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)是A的属于?1的一个
特征向量，记B?A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.
（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B.
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线y?x?4sinx 的水平渐近线方程为
5x?2cosx?1x2?3?0sintdt,x?0（2）设函数f(x)??x在x?0处连续，则a? .
??a, x?0（3）广义积分
???0xdx? .
(1?x2)2y(1?x)的通解是 xy（4）微分方程y??（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xe确定，则 （6）设矩阵A??dydxx?0? ?21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则
??12? B? .
二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，
49
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2017）
?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则[ ]
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .
（8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则
（A）连续的奇函数.
（9）设函数g(x)可微，h(x)?e
（A）ln3?1. （C）?ln2?1.
1?g(x)?x0f(t)dt是
（B）连续的偶函数
（D）在x?0间断的偶函数. [ ]
（C）在x?0间断的奇函数
,h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（B）?ln3?1. （D）ln2?1.
[ ]
x?2xx（10）函数y?C1e?C2e?xe满足的一个微分方程是
（A）y???y??2y?3xe. （C）y???y??2y?3xe.
?xx
40
1（B）y???y??2y?3e.
（D）y???y??2y?3e. [ ]
xx（11）设f(x,y)为连续函数，则
221?x2?d??f(rcos?,rsin?)rdr等于
022（Ａ）
?0dx?xf(x,y)dy. （B）?f(x,y)dx. (D)
0dx?1?x20f(x,y)dy.
(C)
?220dy?1?y2y?220dy?1?y20f(x,y)dx . [ ]
（12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件
?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ]
(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
50
2003-2017考研数学二真题与解析
