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图1、 巴特沃斯滤波器振幅平方特性
通带： 使信号通过的频带 阻带：抑制噪声通过的频带 过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围 Ωc ：截止频率。 过渡带为零
理想滤波器 阻带|H(jΩ )|=0
通带内幅度|H(jΩ)|=cons.
H(jΩ)的相位是线性的
图3-1中，N增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。 通带内，分母Ω/Ωc<1, ( Ω/Ωc)2N<1，A(Ω2)→1。 过渡带和阻带，Ω/Ωc>1， ( Ω/Ωc)2N>1, Ω增加， A(Ω2) 快速减小。
2)11A(?c?,幅度衰减，相当于3db衰减点。 Ω=Ωc, A(?)?,
22A(0)2振幅平方函数的极点
Ha(?S)?Ha(S)?1?(1S2N)j?c
可见，Butter worth滤波器 的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=Ωc的圆周上。
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考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点(SP3，SP4，SP5)组成的，它们分别为：
系统函数为
Sp3??ce2j?3,Sp4???c,Sp5??ce2?j?3
?3c Ha(s)?(S?Sp3)(S?Sp4)(S?Sp5)?c，得归一化的三阶?1令 BF：
如果要还原的话，则有
2.4 双线性变法法
Ha(s)?Ha(s)?1S3?2S2?2S?1
1 32(s/?c)?2(s/?c)?2(s/?c)?1
目的：将模拟带通滤波器转换成数字高通滤波器
为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图2 j?
ooj?j?1j?1??/ T－11o－1oZ平面Z平面1Re[z]Re[z]jIm[z]jIm[z]??o??/ To－??/ T－??/ T?1?1S平面S平面
S1平面S1平面图2 双线性变换的映射关系
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为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现
2??T???tan?1?T?2?式中,T仍是采样间隔。
当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了
整个jΩ轴。将式写成
j??2?ej?1T/2?ej?1T/2
Tej?1T/2?e?j?1T/2将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得2es1T/2?e?s1T/2?sTs??2?s1T?21?e1
Tes1T/2?e?s1T/2?Ttanh??2???T?1?e?s1T再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面
z=es1T
从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：
s?21?z?1
T1?z?11?Ts2?sz?2?T
1?T2s2T?s首先,把z=ejω，可得
s?21?e?j?2???
T1?e?j??jTtan??2???j?
即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 其次，将s=σ+jΩ代入式，得 2???j? z?T2因此 T???j?
?2?2????2|z|??T???仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 ??2?2?T???2???
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由此看出，当σ<0时，|z|<1；当σ>0时，|z|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。
双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式所示，重写如下：
??2???tan??T?2?
上式表明，S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系
由图3看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。
图3双线性变换法的频率变换关系
－?o??＝2tan?2T???仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢12
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但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图4所示。
Ha(jΩ)oo?????oarg[Ha(jΩ)]ooH(ej?)o???arg[H(ej?)]图4双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射
对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。
2. 5 设计步骤
根据以上FIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个FIR高通滤波器，其中通带边界频率为500Hz，阻带边界频率分别为400Hz，通带最大衰减1dB，阻带最小衰减40dB，抽样频率为2000Hz (1)确定性能指标
在设计高通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标:
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用双线性变换法设计原型低通为巴特沃斯型的IIR数字高通滤波器上课讲义
