第三章 湍流模型
第一节 前言
湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：
第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。即：
?u2???t??u1?u1 3－1 ?x2推广到三维问题，若用笛卡儿张量（笛卡尔坐标系）表示，即有：
??ui?uj?2???k?ij 3－2 ??ui?u?j??t????x??j?xi?3?ij为DELT函数，一般i=j时为1，否则为0.
模型的任务就是给出计算湍流粘性系数?t的方法。根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。
（模拟大空间建筑空气流动）
μt= 74ρvl （模拟通风空调室内的空气流动）
比例系数由直接数值模拟的结果拟合而得，其中：v为当地时均速度，l为当地距壁面最近的距离。
第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。
第三类是大涡模拟。前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。
实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。参见：湍流模型的选择资料。
FLUENT提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。
Zero-Equation Models One-Equation Models 包含更多 物理机理
RANS-based models
Spalart-Allmaras 每次迭代 计算量增加
Two-Equation Models Standard k- FLUENT提供 RNG k-?的模型选择
Realizable k-
Reynolds-Stress Model
Large-Eddy Simulation Direct Numerical
Simulation
湍流模型种类示意图
大涡模拟启动需要用命令：(rpsetvar 'les-2d #t)
第二节 平均量输运方程
输运过程的粘滞系数、扩散系数和热传导率，故称为输运方程
雷诺平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。对于速度，有：
ui?ui?ui? 3－3
其中，ui和ui?分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）
类似地，对于压力等其它标量，我们也有：
?????? 3－4 其中，?表示标量，如压力、能量、组分浓度等。
把上面的表达式代入瞬时的连续与动量方程，并取平均（去掉平均速度ui上的横线），我们可以把连续与动量方程写成如下的笛卡儿坐标系下的张量形式：
????(?ui)?0 3－5 ?t?xiDui?p?????Dt?xi?xj???ui?uj2?ul????????ui?u?j 3－6 ???ij?????xl???????xj?xi3??xj??上面两个方程称为雷诺平均的Navier-Stokes（RANS）方程。他们和瞬时Navier-Stokes方程有相同的形式，只是速度或其它求解变量变成了时间平均量。额外多出来的项??ui?u?j是雷诺应力，表示湍流的影响。如果要求解该方程，必须模拟该项以封闭方程。
如果密度是变化的流动过程如燃烧问题，我们可以用法夫雷（Favre）平均。这样才可以求解有密度变化的流动问题。法夫雷平均就是出了压力和密度本身以外，所有变量都用密度加权平均。变量的密度加权平均定义为：
~????/? 3－7 符号～表示密度加权平均；对应于密度加权平均值的脉动值用???表示，即有：~???????。很显然，这种脉动值的简单平均值不为零，但它的密度加权平均值等于零，
即：
????0， ?????0
Boussinesq近似与雷诺应力输运模型
为了封闭方程，必须对额外项雷诺应力??ui?u?j进行模拟。一个通常的方法是应用Boussinesq假设，认为雷诺应力与平均速度梯度成正比，即：
??ui?uj? ??ui?u?j??t???x?j?xi?2??(?k??t?ui)?ij 3－8 ?3?xi?Boussinesq假设被用于Spalart-Allmaras单方程模型和k??双方程模型。Boussinesq
近似的好处是与求解湍流粘性系数有关的计算时间比较少，例如在Spalart-Allmaras单方程模型中，只多求解一个表示湍流粘性的输运方程；在k??双方程模型中，只需多求解湍动能k和耗散率ε两个方程，湍流粘性系数用湍动能k和耗散率ε的函数。Boussinesq假设的缺点是认为湍流粘性系数?t是各向同性标量，对一些复杂流动该条件并不是严格成立，所以具有其应用限制性。
另外的方法是求解雷诺应力各分量的输运方程。这也需要额外再求解一个标量方程，通常是耗散率ε方程。这就意味着对于二维湍流流动问题，需要多求解4个输运方程，而三维
湍流模型
