第六讲、直线和圆的方程
四、 平面解析几何初步 （一）直线与方程
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
4.掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。 5.会求两直线的交点坐标。
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 （二）圆与方程
1.掌握圆的标准方程与一般方程。 2.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系。 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 4.初步了解用代数方法处理几何问题。 （三）空间直角坐标系
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。 2.了解空间两点间的距离公式。
直线方程
1数轴上两点间距离公式：AB?xB?xA
2直角坐标平面内的两点间距离公式：P1P2?(x1?x2)?(y1?y2)
223直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点
按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角 当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
4直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k
表示，即k=tanα（α≠90°）
倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞）
5直线的方向向量：设F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直线上不同的两点，则向量F1F2=（x2
－x1，y2－y1）称为直线的方向向量向量1x2?x1F1F2=（1，
y2?y1x2?x1）=（1，k）也是该直
?线的方向向量，k是直线的斜率特别地，垂直于x轴的直线的一个方向向量为a＝(0,1)
6求直线斜率的方法
①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα ②公式法：已知直线过两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，则斜率k=?ny2?y1x2?x1 ③方向向量法：若a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率k=m 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率 对于直线上任意两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），当x1=x2时，直线斜率k不存在，倾斜角α=90°；当x1≠x2时，直线斜率存在，是一实数，并且k≥0时，α=arctank；k＜0时，α=π+arctank 7直线方程的五种形式
点斜式：y?y0?k(x?x0)， 斜截式：y?kx?b，两点式： 截距式：
xayb?1，一般式：Ax?By?C?0
y?y1y2?y1?x?x1x2?x1，
?两直线的位置关系
1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：
(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；
(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直 王新敞2．斜率存在时两直线的平行与垂直：
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即l1//l2?k1=k2且b1?b2 王新敞已知直线l1、l2的方程为l1：A1x?B1y?C1?0， l2：A2x?B2y?C2?0(A1B1C1?0,A2B2C2?0) l1∥l2的充要条件是
A1A2?B1B2?C1C2 王新敞⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是k1和k2，则这两条直线垂直的充要条件是k1k2??1．
已知直线l1和l2的一般式方程为l1：A1x?B1y?C1?0，
l2：A2x?B2y?C2?0，则l1?l2?A1A2?B1B2?0．
3直线l1到l2的角的定义及公式：
直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角 l1到l2的角?：0°
＜?＜180°， 如果1?k1k2?0,即k1k2??1,则??tan??k2?k11?k2k1?2.如果1?k1k2?0，
王新敞4．直线l1与l2的夹角定义及公式:
l1到l2的角是?1, l2到l1的角是π-?1,当l1与l2相交但不垂直时, ?1和π-?1仅有
一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角当直线l1⊥l2时,直线l1与l2的夹角是
?2夹角?：0°＜?≤90° 王新敞如果1?k1k2?0,即k1k2??1,则??5．两条直线是否相交的判断
?2.如果1?k1k2?0，tan??k2?k11?k2k1 王新敞两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组： ?A1x?B1y?C1?0是否有惟一解 ?Ax?By?C?0?222王新敞6．点到直线距离公式：
点P(x0,y0)到直线l:Ax?By?C?0的距离为：d?7．两平行线间的距离公式
已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1?0，
C1?C2A?B22Ax0?By0?CA?B22
l2：Ax?By?C2?0，则l1与l2的距离为d? 王新敞8 直线系方程:若两条直线l1：A1x?B1y?C1?0，l2：A2x?B2y?C2?0有交点，则过
l1与l2交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)＋?(A2x?B2y?C2)?0或
(A2x?B2y?C2)+?(A1x?B1y?C1)?0 (λ为常数) 简单的线性规划及实际应用 1二元一次不等式表示平面区域:
在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0） B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方
对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数
当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域
2线性规划:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多
问题都可以归结为线性规划问题 线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
（1）根据题意，设出变量x、y； （2）找出线性约束条件； （3）确定线性目标函数z=f（x，y）；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；
（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案
曲线和方程
1．平面解析几何研究的主要问题：根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质
王新敞2．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)?0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性） 王新敞(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性） 王新敞那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 王新敞3求简单的曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)?0; （4）化方程f(x,y)?0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
王新敞4由方程画曲线(图形)的步骤：
①讨论曲线的对称性(关于x轴、y轴和原点)； ②求截距：
?f(x，y)?0方程组?的解是曲线与x轴交点的坐标；y?0? ?f(x，y)?0方程组?的解是曲线与y轴交点的坐标；x?0?
③讨论曲线的范围； ④列表、描点、画线．
5．交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．
6．曲线系方程：过两曲线f(x，y)=0和f(x，y)=0的交点的曲线系方程是f(x，y)＋λ
1
2
1
f(x，y)=0(λ∈R)．
2
求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常使用的就是参数法
圆的方程
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2圆的标准方程
圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为(x?a)?(y?b)?r 2223圆的一般方程
二次方程x+y+Dx+Ey+F=0（*）配方得（x+
22
D2）+（y+
2
E2）=2
D2?E42?4F 把方程x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F?0)
D22222其中，半径是r??E22?4F，圆心坐标是????D2，?E??叫做圆的一般方程 2?
高中文科数学直线和圆方程复习
