2011年卓越联盟自主招生数学试题
(1)向量a，b均为非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，则a，b的夹角为 (A)
? 6
(B)
? 3
(C)
2? 3 (D)
5? 6(2)已知sin2(?+?)=nsin2?，则(A)
n?1 n?1
tan(?????)22等于
tan(?????)
(B)
n n?1
(C)
n n?1 (D)
n?1 n?1(3)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为 (A)
153
(B)
155
(C)
5 3 (D)
5 5z2?2z?2(4)i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则的最大值为
z?1?i(A)2-1
(B)2-2
(C)2+1 (D)2+2 (5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为 (A)y2=16x
(B)y2=8x
(C)y2=-16x (D)y2=-8x
(6)在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为
(A)3
(B)2
(C)3 2 (D)
2 2(7)若关于x的方程(A)(0，1)
|x|=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( ) x?411(B)(，1) (C)(，+∞) 44 (D)(1，+∞)
(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直
线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为
(A)5
(B)6 (D)22 (C)7 (9)数列{an}共有11项，a1=0，a11=4，且|ak+1-ak|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( ) (A)100
(B)120
(C)140 (D)160
(10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
2?的旋转，?表示坐标平面关于y轴7的镜面反射．用??表示变换的复合，先做?，再做?，用?k表示连续k次的变换，则???2??3??4是( ) (A)?4
(B)?5
(C)?2? (D)??2
(11)设数列{an}满足a1=a，a2=b，2an+2=an+1+an． (Ⅰ)设bn=an+1-an，证明：若a≠b，则{bn}是等比数列； (Ⅱ)若lim(a1+a2+…+an)=4，求a，b的值．
n?? (12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC． (Ⅰ)求k的取值范围；
(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短
(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切． (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．
(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，
记袋中白球的个数为Xn． (Ⅰ)求EX1；
(Ⅱ)设P(Xn=a+k)=pk，求P(Xn+1=a+k)，k=0，1，…，b； (Ⅲ)证明：EXn+1=(1-1)EXn+1． a?b(15)(Ⅰ)设f(x)=xlnx，求f′(x)； (Ⅱ)设0 1b|lnx?C|dx取得最小值； ?ab?a(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为ma,b，证明：ma,b 2012年卓越联盟自主招生数学试题 2013年卓越联盟自主招生数学试题 一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．） （1）已知f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在(0,??)上递增，则 （A）f(20.7)?f(?log25)?f(?3) (B) f(?3)?f(20.7)?f(?log25) (C) f(?3)?f(?log25)?f(20.7) (D) f(20.7)?f(?3)?f(?log25) ??（2）已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0???)的图象经过点B(?,0)，且f(x)的相邻 26?，为得到y?f(x)的图象，可将y?sinx图象上所有点 21?（A）先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 231? (B) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 23?(C) 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 3?(D) 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 3（3）如图，在A,B,C,D,E五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为 两个零点的距离为 （A）21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数f(x)在R上存在导数f?(x)，对任意的x?R， 有 f(?x)?f(x)?x2，且在(0,??)上f?(x)?x．若 f(2?a)?f(a)?2?2a，则实数a的取值范围为 （A）[1,??) (B) (??,1] (C) (??,2] (D) [2,??) 二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分） x2y2（5）已知抛物线y?2px(p?0)的焦点是双曲线??1的一个焦点，则双曲线的渐 8p2近线方程为 ． uuuruuur（6）设点O在?ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且OD?2DE?1， uuuruuuruuur则OA?2OB?3OC? ． （7）设曲线y?2x?x2与x轴所围成的区域为D，向区域D内随机投一点，则该点 落 入区域{(x,y)?Dx2?y2?2}内的概率 为 ． (8)如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD与垂足是D，割线EC交圆O于B,C，且 ． ?ODC??,?DBC??，则?OEC? （用?,?表示） 三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 OE垂直， （9）（本小题满分13分） 在?ABC中，三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c． 已知(a?c)(sinA?sinC)?(a?b)sinB． （1）求角C的大小； （2）求sinA?sinB的最大值． （10）（本题满分13分） 3x2y2设椭圆2??1(a?2)的离心率为，斜率为k的直线l过点E(0,1)且与椭圆交于 3a4uuuruuur（1）求椭圆方程；（2）若直线l与x轴相交于点G，且GC?DE，求k的C,D两点． 值； （3）设A为椭圆的下顶点，kAC、kAD分别为直线AC、AD的斜率，证明对任意的k恒 有kAC?kAD??2． （11）（本题满分15分） 设x?0，（1）证明：ex?1?x?x2； （2）若ex?1?x?x2ey，证明：0?y?x． （12）（本题满分15分） 已知数列{an}中，a1?3，an?1?an2?nan??,n?N*,??R． （1）若an?2n对?n?N*都成立，求?的取值范围； （2）当???2时，证明 111??L??2(n?N*)． a1?2a2?2an?212122013大学自主招生模拟试题一 一.选择题 1． 把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 1 2． 等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－,用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*) 2最大的是( ) (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 3． 存在整数n,使p+n+n是整数的质数p( )
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