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第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
———————————————————————————————— sin α22
[考纲传真] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sinα＋cosα＝1，＝tan
cos αα.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sinα＋cosα＝1； sin α(2)商数关系：tan α＝.
cos α2．诱导公式 组序 一 2kπ＋ 角 二 三 四 五 π－α 2六 π＋α 22
2
π2
α(k∈Z) π＋α －α π－α 正弦 sin α －sin －sin α －cos α cos α －tan sin α cos α cos_α 余弦 cos α α tan α －cos_α sin α －sin α 正切 口诀 记忆 规律 tan α α －tan_α 函数名改变符号看象限 函数名不变，符号看象限 奇变偶不变，符号看象限 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sinα＋cosβ＝1.( ) sin α(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．( )
cos α(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
π
(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数2倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
5
2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于( )
13
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2
2
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5
A．－
13C.
5
13
12
B．－
13D.12 13
5
B [∵sin α＝，α是第二象限角，
13122
∴cos α＝－1－sinα＝－.]
13
144
3．(2017·陕西质检(二))若tan α＝，则sinα－cosα的值为( )
21A．－
51C. 5
4
4
2
2
3B．－
53D. 5
2
2
2
2
2
sinα－cosαtanα－1
B [sinα－cosα＝(sinα－cosα)(sinα＋cosα)＝＝222
sinα＋cosαtanα＋13
＝－，故选B.]
5
4．(2016·四川高考)sin 750°＝________.
11 [sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝.] 22
?π?3?π?5．已知sin?＋α?＝，α∈?0，?，则sin(π＋α)＝________.
2??2?5?
【导学号：】
434?π??π?2
－ [因为sin?＋α?＝cos α＝，α∈?0，?，所以sin α＝1－cosα＝，
2?555?2??4
所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.]
5
同角三角函数基本关系式的应用 15π3π (1)已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为( )
842A．－3
2
B.3 2
3
C．－
43D. 4
32
(2)(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝( )
4A.
64
25
B.
48
25
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16 25
C．1
5π3π
(1)B (2)A [(1)∵＜α＜，
42
D.
∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.
132
又(cos α－sin α)＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
84∴cos α－sin α＝
3. 2
2
3cosα＋4sin αcos α1＋4tan α2
(2)∵tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝＝＝222
4sinα＋cosαtanα＋13
1＋4×
464
＝，故选A.]
?3?2＋125?4???
sin α22
[规律方法] 1.利用sinα＋cosα＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用
cos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sinα＋cosα，sinα＝1－cosα，cosα＝1－sinα.
[变式训练1] 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A．－1 2 2
B．－2 2
2
2
2
2
2
2
2
C.D．1
?sin α－cos α＝2，A [由?
?sin2α＋cos2α＝1，
2
消去sin α得：2cosα＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)＝0， ∴cos α＝－2. 2
2
3π
又α∈(0，π)，∴α＝，
4
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高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式教师用书文新人教A版
