机械工程测试技术基础习题解答
第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。
x(t) A … T?0 2T0 20 -A … ?T0 T0 t 图1-4 周期方波信号波形图
解答：在一个周期的表达式为
T0??A (??t?0)??2. x(t)??T? A (0?t?0)??2积分区间取（-T/2，T/2）
T02T?02T020
1cn?T0 =j?x(t)e?jn?0t1dt=T0?0T?02?Ae?jn?0t1dt+T0?)Ae?jn?0tdt
A(cosn?-1) (n=0, ?1, ?2, ?3, n??所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x(t)?n????cnejn?0t??j1(1?cosn?)ejn?0t，n=0, ?1, ?2, ?3, ??n???nA?。
A?(1?cosn?)?cnI?? (n=0, ?1, ?2, ?3, n????cnR?0cn?cnR2?cnI2)
?2A n??1,?3,?, A??(1?cosn?)??n? n??0 n?0,?2,?4,?6, ?
?π??2n??1,?3,?5,?cnI?πφn?arctan??n??1,?3,?5,cnR?2n?0,?2,?4,?6,?0??|cn| 2A/π 2A/π 2A/3π 2A/3π 2A/5π
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
φn π/2 ω0 3ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 5ω0 2A/5π -5ω0 -3ω0 -ω0 ω ω0 3ω0 5ω0 ω -π/2 相频图
幅频图
周期方波复指数函数形式频谱图
1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。 解
答
：
2x1T1Tμx??x(t)dt??x0sinωtdt?0T0T0T
?T20T2x04x02x02?sinωtdt??cosωt0?
TωTωπxrms1T21T22?x(t)dt?x0sinωtdt???00TT?at2x0T?T0x1?cos2ωtdt?0 22
1-3 求指数函数x(t)?Ae解答：
(a?0,t?0)的频谱。
X(f)??x(t)e????j2?ftdt??Aee0??at?j2?fte?(a?j2?f)tdt?A?(a?j2?f)?0?AA(a?j2?f)?2a?j2?fa?(2?f)2
X(f)?ka?(2?f)22
?(f)?arctanImX(f)2?f??arctan
ReX(f)a|X(f)| A/a φ(f) π/2 0 0 2 单边指数衰减信号频谱图
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
sgn(t) 1 0 -1 a)符号函
图1-25 题1-4图
a)符号函数的频谱
b)阶跃函
f f -π/
u(t1 0 t t ??1t?0 x(t)?sgn(t)????1t?0t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。
x1(t)?e?at?e?atsgn(t)??at??ea?0t?0 t?0x(t)?sgn(t)?limx1(t)
X1(f)??x1(t)e?j2?ftdt???eate?j2?ftdt??e?ate?j2?ftdt??j????0?0?4?f 22a?(2?f)X(f)?F?sgn(t)??limX1(f)??ja?01 ?fX(f)?1 ?f
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