第六讲 整式的运算
一、知识要点
1、整式的概念：单项式，多项式，一元多项式； 2、整式的加减：合并同类项； 3、整式的乘除： （1） 记号f(x)，f(a)； （2） 多项式长除法；
（3） 余数定理：多项式f(x)除以(x-a)所得的余数r等于f(a)； （4） 因数定理：(x-a)|f(x)?f(a)=0。 二、例题示范 1、整式的加减
例1、 已知单项式0.25xbyc与单项式?0.125xm-1y2n-1的和为0.625axnym，求abc的值。 提示：只有同类项才能合并为一个单项式。
例2、 已知A=3x2n?8xn+axn+1?bxn-1，B=2xn+1?axn?3x2n+2bxn-1，A?B中xn+1项的系数为3，
xn-1项的系数为?12，求3A?2B。
例3、 已知a?b=5，ab=?1，求(2a+3b?2ab) ?(a+4b+ab) ?(3ab+2b?2a)的值。 提示：先化简，再求值。
例4、 化简： x?2x+3x?4x+5x?…+2001x?2002x。
例5、 已知x=2002，化简|4x2?5x+9|?4|x2+2x+2|+3x+7。 提示：先去掉绝对值，再化简求值。
例6、5个数?1, ?2, ?3,1,2中，设其各个数之和为n1，任选两数之积的和为n2，任选三个数之积的和为n3，任选四个数之积的和为n4，5个数之积为n5，求n1+n2+n3+n4+n5的值。
例7、王老板承包了一个养鱼场，第一年产鱼m千克，预计第二年产鱼量增长率为200%，以后每年的增长率都是前一年增长率的一半。 （1） 写出第五年的预计产鱼量；
（2） 由于环境污染，实际每年要损失产鱼量的10%，第五年的实际产鱼量为多少？比预
计产鱼量少多少？
2、整式的乘除
例1、已知f(x)=2x+3，求f(2),f(-1),f(a),f(x2),f(f(x))。
例2、计算：(2x+1)?(3x?2)?(6x?4)?(4x+2) 长除法与综合除法：
一个一元多项式f(x)除以另一个多项式g(x)，存在下列关系：
f(x)=g(x)q(x)+r(x) 其中余式r(x)的次数小于除式g(x)的次数。当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除。
例3、（1）用竖式计算(x3?3x+4x+5)?(x?2)。 （2）用综合除法计算上例。
（3）记f(x)= x3?3x+4x+5,计算f(2)，并考察f(2)与上面所计算得出的余数之间的关系。
例4、证明余数定理和因数定理。
证：设多项式f(x)除以所得的商式为q(x)，余数为r，则有 f(x)=(x?b)q(x)+r，将x=b代入等式的两边，得 f(b)=(b?b)q(b)+r，故r=f(b)。
特别地，当r=0时，f(x)= (x?b)q(x)，即f(x)有因式(x?b)，或称f(x)能被 (x?b)整除。
例5、证明多项式f(x)=x4?5x3?7x2+15x?4能被x?1整除。
例6、多项式2x4?3x3+ax2+7x+b能被x2+x?2整除，求a,b的值。 提示：（1）用长除法，（2）用综合除法，（3）用因数定理。
七年级数学竞赛辅导讲座(共7讲)-第六讲整式的运算
