8-1已知非线性环节的特性如图8.1a所示，试计算该环节的描述函数。
y y y k k a a
x x
0 0 0 -a -a
（a） （b） （c）
答：
方法一：由图8.1a所示，
x .....x?0?Kx?A..........y??,Kx?A...............x?0?令代入则可以得到
, 因为非线性
特性为奇函数，所以=0,A1=,
B1=
=在此处键入公式。
可以得到B1=KX+4,所以该非线性环节的描述函数为 。
方法二：图8.1a所示的非线性特性可以看作是图8.1b，图8.1c叠加而成的。 图8.1b对应的非线性环节的描述函数为
。
图8.1c对应的为理想继电器非线性，其描述函数为。
所以，图8.1a对应的飞线性特性描述函数为
。
??x??x?0非线性系统的相平面图。 x8.2.试绘制?答：
由题意，此方程可以改写为：,开关线为x=0。
当x>0时，相轨迹方程对应的特征方程为+λ+1=0，，由可以得到
.故奇点为稳定的焦点。
当x<0时，相轨迹方程对应的特征方程为+λ-1=0,得到此时的奇点为（0,0），奇点为鞍点，推导等倾线方程。 令=α，可以得到等倾线方程为
,由可以
,令等倾线的斜率为k，即可以得到
，得到
K -3 -2 -1 0 ,列写表格如下表所示。 0 1 2 3 +∞ , 0
8.3.系统方框图如图8-29所示，其中K>0，T>0。当非线性元件N分别为理想继电特性;死区
?继电特性;滞环继电特性;带死区和滞环的继电特性，在c?c相平面上绘制相平面图。
r = 0 - N(e) e) K s(Ts?1)C(t)
8-29系统方框图
（1） 具有死区的三位置继电特性 线性部分的微分方程为
当继电特性为具有死区的三位置继电特性时，上式可以写成分段微分方程为：
开关线为在
,两条开关将相平面划分为三个线性区域，下面分区绘制相轨迹
区域，相轨迹方程为：
类似于具有饱和特性的非线性控制系统时的讨论，像平面与该区域无奇点，相轨迹均渐进于
的直线。
在
区域，相轨迹方程为：
的直线。
像平面在该区域无奇点，相轨迹均渐进于在
区域，相轨迹方程为：
由
说明该区域的相轨迹斜率均为，这意味着相轨迹应是一族斜率为，且相互平行的直线。
此外若令，系统的相轨迹方程恒成立，说明在该区内，均有平衡点，相轨迹
可终止于其中的任一点。
（2） 具有滞环的两位置继电特性
继电特性为具有滞环的两位置继电特性时，可以写成分段线性微分方程：
开关线方程为
开关线将整个相平面划分成两个区域： Ⅰ区域相轨迹方程
，
水平直线;
Ⅰ区域无奇点，相轨迹渐近于
Ⅱ区域相轨迹方程
Ⅱ区域无奇点，相轨迹渐近于水平直线。
（3） 既有死区又有滞环的继电特性
当继电特性为既有死区又有滞环的继电特性时，分段线性微分方程为
开关线方程为三个区域。
8.6.设某非线性控制系统方框如图8-30所示，试确定该系统的自持振荡的振幅与角频率。
r = 0 - 2 1 1 和;四条开关线将相平面划分为
2 2 10s(s?1)2 1 1 图8-30非线性控制系统方框
解：将系统方框图化简为标准结构。
前向通路中的两个非线性环节可用图解法进行化简。 可见，串联后的非线性环节仍为带死区的继电特性。 当图。
r = 0 - 1 时，有，位于饱和特性的线性区域，故由，可得=0.5。于是可得等效
2 0.5 10s(s?1)2 1 1 在在
的范围内
的范围内,y=2与e的具体数值无关。于是上图可进一步化简。
r = 0 - 2 0.5 10s(s?1)2 （2）绘出线性部分的G（j）曲线图。
由上图可得线性部分的传递函数为变化时，G（j）曲
线从第Ⅲ象限开始，穿越负实轴后进入第Ⅱ象限，最后终止于坐标原点。 令
=
有
计算可得曲线与负实轴的交点为
于是，可绘出G（j）曲线图。
（3）绘出非线性部分曲线。
由上图可得，非线性部分的描述函数为
其中M=2
，故
计算可得，当A=
时，
取极值
《自动控制原理》---丁红主编---第八章习题答案
