新课标卷Ⅰ文数压轴题
12．已知A,B,C为球O的球面上的三个点，O1为?ABC的外接圆，若O1的面积为4?，
AB?BC?AC?OO1，则球O的表面积为
A．64? 【答案】A
【解析】由题知O1的半径r为2，由正弦定理知所以球O的半径R? 16．数列
B．48?
C．36?
D．32?
AB?2r，则OO1?AB?2rsin60??23,sinCr2?OO12?4，所以球O的表面积为4?R2?64?，答案选A．
?an?满足an?2?(?1)nan?3n?1，前16项和为540，则a1? ．
【答案】a1?7
【解析】当n为偶数时有an?2?an?3n?1，所以
(a2?a4)?(a6?a8)?(a10?a12)?(a14?a16)?5?17?29?41?92，前16项和为540，
所以a1?a3?a5?a7?a9?a11?a13?a15?448， 当n为奇数时有an?2?an?3n?1，由累加法得
an?2?an?3(1?3?5?????n)?所以an?2=
1?n321??n?n?, 244321 ?n?n??a1，代入a1?a3?a5?a7?a9?a11?a13?a15?448，可得a1?7．
44x2221．已知A，B分别为椭圆E：2?y?1(a?1)的左、右定点，G为E的上顶点，AG?GB?8，P
a为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． （1）求E的方程：
（2）证明：直线CD过定点．
x2?3??y2?1；（2）?，0? 【答案】（1）9?2?【解析】设A(?a,0)，B(a,0)，G(0,b)，有AG?(a,b),GB?(a,?b)，由已知得
1
x2AG?GB?a?b?8,所以c?22，所以a?b?c?9，所以E的方程?y2?1．
922222（2）解法一：设P(6,t)，A(?3,0)，则直线AP：
ytt?，即y?(x?3)， x?399t?y?(x?3)?x2t22?9??x?3??1，整理得(t2?9)x2?6t2x?9t2?81?0, 联立?2，得
981?x?y2?1??9?6t2?6t2?3t2?27t?3?2由韦达定理得xA?xC?2，所以xC?2，把xC代入直线y?(x?3)
t?9t?9t?99?3t2?276t,) 所以C(2t?9t2?93t2?3?2tt,2) 同理可设直线PB： y?(x?3)，联立方程韦达定理推出D点坐标为D(2t?9t?996t?2t3t2?3?3t2?273t2?32t?2)(x?2)?(2?2)(y?2) 所以直线CD：(2t?9t?9t?9t?9t?9t?1整理得y?4t2t2t2?3??0?． ，所以，则恒过定点y?(?x?1)?，2?3(t2?3)t2?3t2?33??解法二：如图，
设C(x1,y1),D(x2,y2)，由题设直线AP的方程为y?y1(x?3)，直线BP的方程为x1?3y?y2(x?3)，因为AP与BP都交于P点，且P点在直线x=6上，则 x2?3y1?y?(x?3)，?x1?3y1y23y1y2??(x?3)=(x?3)= ，代入x=6，得记为（*） ?yx?3x?3x2?312?y?2(x?3)，x1?3?x2?3? 2
①若直线CD无斜率，则x1?x2,y1??y2，解得x1?x2=3?3?，即此时直线CD必过?，0?点
22??②则直线方程为y?y1?y2?y13?3?，由（1）猜想直线CD恒过?，0?，即证明y=0时，x=即可，
x2?x12?2?2x1x2?9x1?3x2y2?y1，综合（*），可得x?，又CD两
3x2?x1?12x2?x1在直线CD方程中，令y=0，得?y1?229?x1229?x29y12y2,y2?点均在椭圆E上，则y?及由（*）得 ?99(x1?3)2(x2?3)221化简得4x1x2?15(x1?x2)?36，将此式代入前面所求x，即可得到x=3，从而证明直线恒过2?3?0? ?，2??0?． 综上所述，直线CD恒过定点?，
?3?2?? 3
2020年高考全国卷压轴题(新课标卷Ⅰ文数)
