zxxk.com
一元二次方程的应用难点突破（上）专项练习
1. 已知二次函数
y=kx
2
（k）x在x=0和x=4时的函数值相等。
y＜0时，自变量x的取值范围；
（1）求该二次函数的表达式；
（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出当（3）已知关于x的一元二次方程方程根的情况。
kx
22
3mxm
2
m0，当m≤３时，判断此
22
2.已知关于x的一元二次方程（1）若方程有实数根，求实数（2）若方程两实数根分别为3. 已知x1，x2是一元二次方程（1）是否存在实数不存在，请说明理由。
（2）求使4. 若方程x
2
x＋2（m＋1）x＋m－1＝0。m的取值范围；
1
2
1
2
2
12
x，x，且满足（x－x）＝16－xx，求实数m的值。
4kx2
4kx
k
10的两个实数根。32
成立？若存在，求出
k的值；若
k，使(2x1x2)(x12x2)
x1x2
x2x1
2的值为整数的实数mn
k的整数值。
mnx0有整数根，且m、n为自然数，则m、n的值有几个。
zxxk.com
zxxk.com
一元二次方程的应用难点突破（上）专项练习
参考答案
1. 解析：（1）由题意可知，此二次函数图象的对称轴为x
2，
即k3
2k
2，
∴k
1，
∴y =x
2
x3；
（2）如图1
图1
1＜x＜3；
（3）由（1）得此方程为
x
2
3mx
m
2
m0；
=（3m）
2
4（m
2
m）m2
+4m；
∴Δ是m的二次函数，由图2可知，当1≤m＜0时，Δ＜0；
当m=0时，Δ=0；当0＜m≤３时，Δ＞0.
∴当
1≤m＜0时，原方程没有实数根；当
m=0时，
原方程有两个相等的实数根；当0＜m≤３时，原方程有
两个不相等的实数根。
2
图2
2
2.解：（1）由题意有Δ＝[2（m＋1）]－4（m－1）≥０，整理得∴实数m的取值范围是
m≥－1
2
（2）由两根关系，得
x1
＋x2
＝－2（m＋1），x1
·x2
＝m－1，
zxxk.com
8m＋8≥０，解得m≥－1，zxxk.com
2
1
2
12
1
2
2
12
（x－x）＝16－xx，（x＋x）－3xx－16＝0，
2
2
∴[－2（m＋1）]－3（m－1）－16＝0，
2
∴m＋8m－9＝0，解得m＝－9或m＝1，∵m≥－1，∴m＝1。3. 解
（1）假设存在满足条件的
k值。
∵一元二次方程
4kx2
4kx1)
k
10有两个实数根，则
k≠０，且
(4k)16k
2
4×4k(k0，
∴k
又∵x1
0。
x2
1，x1·x2
2x2)5x1x29x1x2
k4k1
，
∴(2x1
2(xk
2
1
x2)(x1
x)x2)94k
。
22
2(x1
若(2x1则
x2)(x19
32x1x2
x2x1
2x2)，∴k
95
32
，
k4k
。
而k＜0，故不存在实数（2）∵
k，满足题设条件。
2
x
21
x
22
x1·x2(x1
x2)x1·x21
x1x2
2
244k
x2x1
4kk
∴要使
4
1
。
k+1能整除4。
[来源学科网]
2的值为整数，只须
而k为整数，故k+1只能取：±1，±2，±4。∵k<0，∴k+1<1，
[来源:Zxxk.Com]
∴k+1只能取－1，－2，－4。∴使4. 解：式，设为
x1x2
x2x1
2的值为整数的
k的整数值为－2，－3，－5。
xk
2
mnxmk
n
0……(*)有整数根，则
2
2
mn
2
4m4n为一完全平方
2
N，于是mn
4m4nk
2
zxxk.com
zxxk.com
即m
2
n
2
4m4n
4n
2
k
2
0
4nn
[来源学科网ZXXK]
1
k
2
2
视<1>为m的一元二次方程，它应有整数解，由
m1
可见
m2，m1m2
2
（1）令n1，则<1>式为22m4m4k0
（2）若要有整数解，则
n
2
48
k
2
[来源学科网ZXXK]
4
令8
2
44k
2
应为完全平方式。
ka
2
2
ak
2
2
aa
N，则ka
k
8
因为
8188142
24
所以有如下两种情形。
ab
akakakak
无整数解，舍去。
ak
2
31
4m
4
1
0
代入<2>式得：m所以
m5或m1（舍去）将n1，m5代入（*）式得：x12，x23
所以m5，n1满足条件。由对称性（方程系数是对称的）知
求。
（2）令
n5，m1也是所
4m
2
n2，则<1>式为
2
4m8k0
4
2
22
3
4
4
8
k
2
<3>若有整数解，则故令
169k
2
应为某一完全平方式，
99
因为
k
22
bbb
N，则kb
k
33bk
30
bk
9k
9133
所以又有两种情形。
a
b
bk
代入<3>式得：将n
2，m
x2
2
m2或m1（舍去）
2代入（*）得：2为所求。bk
54
[来源学_科_网Z_X_X_K]
x1
所以
m2，n91
b
bkbk
代入<3>式得：将m
3，n
m3或m2（舍去）
2代入（*）式得：
zxxk.com
zxxk.com
5，有整数解，故m3，n
由对称性知n3，m2也为所求。
故符合题意的整数对
x11，x22为所求。
m、n有（5，1）、（1，5）、（3，2）、（2，3）、（2，2）共5个。
zxxk.com
2018年人教版中考二轮复习及答案：一元二次方程的应用难点突破(上)
