(江苏专用)2020高考数学二轮复习 专项强化练(三)基本初等函数、函数与方程

专项强化练(三) 基本初等函数、函数与方程

A组——题型分类练

题型一 指数式与对数式

1

12－－?49?2

1．(0.000 1)4＋273－??＝________．

?64?1

12－??7?2?2－43

解析：原式＝(0.1) 4＋(3)3－????

??8??

?7?＝0.1＋3－???8?

－1

2

－18125＝10＋9－＝.

77

125答案： 7

??1＋log2（2－x），x<1，

2．设函数f(x)＝?x－1则f(－2)＋f(log212)＝________．

?2，x≥1，?

解析：因为f(－2)＝1＋log24＝3，f(log212)＝2log212－1＝6，所以f(－2)＋f(log212)＝9.

答案：9 [临门一脚]

1．分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程．

2．在运用性质logaM＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaM＝

nnnloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．

3．对数值取正、负值的规律：

当a>1且b>1，或00； 当a>1且01时，logab<0. 题型二 指数、对数函数的图象与性质 1．(2020·苏北四市质检)函数y＝

log1x 的定义域为________．

2

解析：由题意知log1x≥0，得0

2答案：(0，1] 2．函数f(x)＝ax－1

＋3(a>0且a≠1)的图象所经过的定点为________．

1－1

解析：当x＝1时，f(1)＝a的定点为(1，4)．

答案：(1，4)

＋3＝a＋3＝4，所以函数f(x)＝a0x－1

＋3的图象一定经过

3．若函数f(x)＝a|2x－4|

(a>0，a≠1)且f(1)＝9，则f(x)的单调递减区间是________．

|2x－4|

解析：由f(1)＝9得a＝9，所以a＝3.因此f(x)＝3

2

，又因为g(x)＝|2x－4|的递

减区间为(－∞，2]，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2]．

答案：(－∞，2]

log1x，x>0，??

4．设函数f(x)＝?2若f(m)

??log2（－x），x<0，取值范围是________．

解析：因为f(x)为奇函数，图象如图所示，所以f(m)

答案：(－1，0)∪(1，＋∞)

?1?5．若函数f(x)＝log1|x－1|，则f?－?，f(0)，f(3)的大小关系为

?2?

2

____________________．

1?3?－解析：因为f??＝log1，f(0)＝log11，f(3)＝log12，且y＝log1x是定义域内的

2?2?

2

2

2

2

?1?减函数，所以f(3)

?2?

?1?答案：f(3)

[临门一脚]

1．指数、对数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按01进行分类讨论．

2．在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x>0}． 3．指数和对数函数的研究要注意复合函数的研究，其中对数复合函数的性质在转化时不能遗忘真数大于零这个条件．

4．对于含a、a的表达式，通常可以令t＝a进行换元，但换元过程中一定要注意“新元”的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系式．

题型三 函数与方程

??2－1，x≤1，1．已知函数f(x)＝?则函数f(x)的零点为________．

?1＋log2x，x>1，?

xx2xx解析：当x≤1时，由f(x)＝2－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，1

解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上，函数f(x)的零点为0.

2

答案：0

x??2－|x|，x≤2，

2．(2020·盐城中学模拟)已知函数f(x)＝?函数g(x)＝3－f(2－x)，2

?（x－2），x＞2，?

则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为________．

??|x－2|＋1，x≥0，

解析：由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝?函2

?3－x，x＜0.?

数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示．由

图可知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.

答案：2

|x－1|

3．已知函数f(x)＝－kx无零点，则实数k的取值范围是____________．

x－1|x－1||x－1|

解析：函数f(x)＝－kx无零点，也就是＝kx没有实

x－1x－1

??x＋1，x>1或x<－1，

数解，在平面直角坐标系中画出y＝?与y＝kx的图

?－x－1，－1≤x<1，?

2

2

2

象，如图．

由图象可知k∈[－2，0)． 答案：[－2，0)

??kx＋k，x≤0，

4．已知函数f(x)＝?(其中k≥0)，若函数y＝f[f(x)]＋1有4个零点，

?ln x，x>0?

则实数k的取值范围是________．

解析：令f(x)＝u，结合图象，当k＝0时，不合题意；当k>0时，f(u)1

＝－1有两个零点u1，u2，u1<－1，u2＝，则f(x)＝u1有两个零点x1，x2，

e1

依题意f(x)＝u2应有两个不同于x1，x2的零点，则k≥. e

?1?答案：?，＋∞? ?e?

[临门一脚]

1．函数的零点不是点：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．

2．对函数零点存在的判断中，必须强调：

(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)<0；(3)在(a，b)内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不是必要条件．