空间向量在立体几何中的应用
【考纲说明】
1.能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题；
2.会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题； 3.培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力；
【知识梳理】
一、空间向量的运算 1、向量的几何运算 （1）向量的数量积：
已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即 空间向量数量积的性质：① ② ③
．
；
；
rrrrrr（2）向量共线定理：向量aa?0与b共线，当且仅当有唯一一个实数?，使b??a．
??2、向量的坐标运算 （1）若
，
，则
．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）若 ， ，则
（3）夹角公式：
； ，
．
，
，
，
1
（4）两点间的距离公式：若 ， ，则
二、空间向量在立体几何中的应用 2.利用空间向量证明平行问题
对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 3.利用空间向量证明垂直问题 对于垂直问题，一般是利用
进行证明；
4.利用空间向量求角度 （1）线线角的求法：
00
设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为 （线线角的范围[0,90]）
（2）线面角的求法：
设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为
（3）二面角的求法：
设n1，n2分别是二面角 的两个面 ， 的法向量，则 就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）
5.利用空间向量求距离
（1）平面的法向量的求法：
设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面
的一个法向量（如图）。
2
（2）利用法向量求空间距离 （a） 点A到平面
（b） 直线与平面
（c） 两平行平面
之间的距离： ，其中
， 是平面
的法向量。
之间的距离： ，其中
，是平面
的法向量。
的距离： ，其中
，是平面
的法向量。
【经典例题】
【例1】（2010全国卷1理）正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
333 3【解析】D
全国卷2文）【例2】（2010已知三棱锥S?ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，
SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
S
（A） 23263573 (B) (C) (D) 4444【解析】D
【例3】（2012全国卷）三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，
F C A
E B
?BAA1??CAA1?60o，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。
【解析】
6 63
【例4】（2012重庆）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。
（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；
（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1—CD—B1的平面角的余弦值。
【解析】5
【例5】（2012江苏）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?ACCC1上的点（点D 不同E分别是棱BC，11，D，1 3A1
于点C），且AD?DE，F为B1C1的中点． B1 F
求证：（1）平面ADE?平面BCC1B1；
（2）直线A1F//平面ADE．
A
D
C1
E
C
【例6】（2012山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值． 错误!未指定书签。
【解析】二面角F-BD-C的余弦值为
B
5． 5A【例7】（2012江西）在三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB?AC?AA1?5，BC?4，点1在底面ABC的投
影是线段BC的中点O。
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE?平面BB1C1C，并求出AE的长； （2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。
A1B1C1【解析】
530， 510AOBC
4
【例8】（2012湖南）四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点. （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】V?
【例9】（2012广东）如图所示，在四棱锥P?ABCD中，AB?平面PAD，AB//CD,PD?AD，E是PB中点，F是DC上的点，且DF?11851285?S?PA??16??33515
1AB，PH为?PAD中AD边上的高。 2（1）证明：PH?平面ABCD；
（2）若PH?1,AD?2,FC?1，求三棱锥E?BCF的体积； （3）证明：EF?平面PAB．
【解析】三棱锥E?BCF的体积V?111112S?BCF?h???FC?AD?h??1?2?? 3326212【例10】（2012新课标）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1－BD－C1的大小．
?【解析】二面角A1?BD?C1的大小为30
1AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD． 2C1A1B1DCAB
【例11】如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PA?平面ABCD点E在线段PC上，PC?平面BDE．
（1）证明：BD?平面PAC；
（2）若PA?1，AD?2，求二面角B?PC?A的正切值．
【解析】二面角B?PC?A的平面角的正切值为3
B
P
AE
D C
【例12】（2012天津）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA丄平面ABCD，AC丄AD，AB丄BC，?ABC=45，
0P5
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