一.方法综述
数列的通项公式是数列高考中的热点问题,求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强,但万变不离其宗,只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题,如数阵(数表)问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为an形式的数列通项公式问题中都有所涉及,本讲就这类问题进行分析. 二.解题策略
类型一 数阵(数表)中涉及到的数列通项公式问题
【例1】如图所示的“数阵”的特点是:每行每列都成等差数列,则数字73在图中出现的次数为____.
【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列,先从第一行入手求出第一行数组成的数列A1j(j?1,2,??)的通项公式,再把第一行的数当成首项,再次根据等差数列这一性质求出第j数列组成的数列Aij(i?1,2,??),最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.
2.数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等),来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”,纵向为“列”,在项的表示上通常用二维角标aij进行表示,其中i代表行,
j代表列.例如:a34表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先
抓住选取数的特点,确定所求数的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项),求出前n行共含有的项的个数,从而确定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列.
【举一反三】
1.【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】数列排足4, 4,43 4,43,4 4,43,4 … A.C.
B.D.
, 4
中的项按顺序可以排列成如图的形式,第一行项,
的前项和为,则满
;第二行项,从左到右分别排,;第三行项,……以此类推,设数列
的最小正整数的值为( )
2.【2019年3月3日《每日一题》】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上用小石子排成多边形,从而研究“多边形数”.如图甲的三角形数1,3,6,10,15,…,第个三角形数为
.又如图乙的四边形数1,4,9,16,25,…,第个四边形数为
.以此类推,图丙的五边形数中,第个五边形数为
________________.
类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题 【例2】已知点A1(1,y1),A2(2,y2),,An(n,yn),顺次为直线y?11x?上的点,点412B1(x1,0),B2(x2,0),,Bn(xn,0),顺次为x轴上的点,其中x1?a(0?a?1).对于任意n?N*,点
Bn,An,Bn?1构成以An为顶点的等腰三角形.则数列{xn}的通项公式为____________.
【指点迷津】对于点列问题,要根据图像上点与点之间的关系,以及平面几何知识加以分析,找出关系式即可,本题是直线上的点列,已知点列An的通项公式,求点列Bn的通项公式,并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.
【举一反三】在直角坐标平面中,已知点列A1?1,???1?1??1???n1?,,,…,,…,An,(?1)A3,?A2,n?3??2?2?n?3?222?2??????其中n是正整数.连接A1A2的直线与x轴交于点B1?x1,0?,连接A2A3的直线与x轴交于点B2?x2,0?,…,连接AnAn?1的直线与x轴交于点Bn?xn,0?,….则数列?xn?的通项公式为___________. 类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题
【例3】【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】定义在正实数上的函数表示不小于x的最小整数,如合
中元素的个数为
,则
=____.
,
,当
时,函数
的值域为
,其中,记集
【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.
2.已知Sn求an的一般步骤:(1)当n?1时,由a1?S1求a1的值;(2)当n?2时,由an?Sn?Sn?1,求得an的表达式;(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式,若不满足则分段表示an;(4)写出an的完整表达式.
【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知F?x??f?x???1???1是R上的奇函数, 2??1??2?an?f?0??f???f????n??n??n?1?*?f?. ??f?1?n?N,则数列?an?的通项公式为( )
n????
专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(20
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