一．方法综述
数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为an形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略
类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题
【例1】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．
【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列A1j(j?1,2,??)的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第j数列组成的数列Aij(i?1,2,??)，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.
2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标aij进行表示，其中i代表行，
j代表列.例如：a34表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先
抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.
【举一反三】
1.【河北省衡水市第二中学2024届高三上期中】数列排足4, 4,43 4,43,4 4,43,4 … A．C．
B．D．
, 4
中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，
的前项和为，则满
；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列
的最小正整数的值为（ ）
2.【2024年3月3日《每日一题》】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上用小石子排成多边形，从而研究“多边形数”．如图甲的三角形数1，3，6，10，15，…，第个三角形数为
．又如图乙的四边形数1，4，9，16，25，…，第个四边形数为
．以此类推，图丙的五边形数中，第个五边形数为
________________．
类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题 【例2】已知点A1(1,y1),A2(2,y2),,An(n,yn),顺次为直线y?11x?上的点，点412B1(x1,0),B2(x2,0),,Bn(xn,0),顺次为x轴上的点，其中x1?a(0?a?1).对于任意n?N*，点
Bn,An,Bn?1构成以An为顶点的等腰三角形.则数列{xn}的通项公式为____________.
【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列An的通项公式，求点列Bn的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.
【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列A1?1,???1?1??1???n1?，，，…，，…，An,(?1)A3,?A2,n?3??2?2?n?3?222?2??????其中n是正整数.连接A1A2的直线与x轴交于点B1?x1,0?，连接A2A3的直线与x轴交于点B2?x2,0?，…，连接AnAn?1的直线与x轴交于点Bn?xn,0?，….则数列?xn?的通项公式为___________. 类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题
【例3】【河北省石家庄市第二中学2024届高三上期末】定义在正实数上的函数表示不小于x的最小整数，如合
中元素的个数为
，则
=____.
，
，当
时，函数
的值域为
，其中，记集
【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
2.已知Sn求an的一般步骤：（1）当n?1时，由a1?S1求a1的值；（2）当n?2时，由an?Sn?Sn?1，求得an的表达式；（3）检验a1的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示an；（4）写出an的完整表达式.
【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知F?x??f?x???1???1是R上的奇函数， 2??1??2?an?f?0??f???f????n??n??n?1?*?f?． ??f?1?n?N，则数列?an?的通项公式为（ ）
n????
专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题-玩转压轴题,突破140分之高三数学选择题填空题高端精品(20
