BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）
（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1= CE1，且BD1⊥CE1；
（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为 ；②点P到AB所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）
CCE（D1）ED1PADBE1ADBE1
考点：几何变换综合题．.
分析：（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；
（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；
（3）①直接利用直角三角形的性质得出PM=BC得出答案即可；
②首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大， 此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．
解答：解：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点， ∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°）， ∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°， ∴BD1=
=2
，E1C=
=2
；
故答案为：2，2；
（2）证明：当α=135°时，如图2，
∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到， ∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°， 在△D1AB和△E1AC中
∵，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS）， ∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA， 记直线BD1与AC交于点F，
∴∠BFA=∠CFP，
∴∠CPF=∠FAB=90°， ∴BD1⊥CE1；
（3）解：①∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中点为M， ∴PM=BC， ∴PM=
=2
，
故答案为：2；
②如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G， ∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大， 此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1=故∠ABP=30°， 则PB=2+2，
故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+故答案为：1+．
=2
，
．
点评：此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG的最长时P点的位置是解题关键．
5.（安顺）如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。 (1)求证：直线EF是⊙O的切线；
A (2)求cos?E的值。
F D G
E B · O C
（1）（6分）证明：连接OD、CD。 ∵BC是直径，∴CD⊥AB
∵AB=BC. ∴D是AB的中点。又O为CB的中点， ∴OD∥EF，EF,是⊙O的切线。
（2）（6分）解：连BG。∵BC是直径，∴∠BGC=90°。 在Rt△BCD中，DC?∵
AC2?AD2?102?62?8.
AB?CD12?848. ??AC105AB?CD?2S?ABC?AC?BG∵BG⊥AC,DF⊥AC
∴BG∥EF, ∴∠E=∠CBG, ∴cos?E?cos?CBG??BG?BG24 ?BC256.（河南）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上 不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使 PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO. （1）求证：△CDP∽△POB； （2）填空：
① 若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为 ；
② 连接OD，当∠PBA的度数为 时，四边形BPDO是菱形. C P D O A B (1)略；（2）① 最大面积为4. ② 60°
7.（湖北滨州）如图,⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
（1）求弧BC的长； （2）求弦BD的长.
解：（1）连接OC. ∵AB为⊙O
的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中， ∵cos∠BAC=
AC51??,∴∠BAC=60°， AB102120???510??.
1803∴∠BOC=2∠BAC =120°. ∴弧BC的长为
（2）连接OD.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD,
∴∠AOD=∠BOD， ∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=45°. 在Rt△ABD中，BD=
22AB??10?52. 22（其它解法，酌情判分）
8.（常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF （1）求证：EF是⊙O的切线； A（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长。 E O
B DCF
【解答与分析】本题考点，主要是切线的判定，中位线的性质，以及特殊直角三角形的边角关系和勾股定理。 AA （2） EEO ∵⊙O的半径为3 O ∴AO＝CO＝EO＝3 BDCBFDC F证明：（1）连接FO ∵∠EAC＝60°，OA＝OE 易证OF∥AB ∴∠EOA＝60° ∵AC⊙O的直径 ∴∠COD＝∠EOA＝60° ∴CE⊥AE ∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3 ∵OF∥AB
∴CD＝33 ∴OF⊥CE
∴OF所在直线垂直平分CE ∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°， ∴FC＝FE，OE＝OC
CD＝33，AC＝6
∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE ∵Rt△ABC
∴AD＝37 ∴∠ACB＝90°
即：∠0CE＋∠FCE＝90° ∴∠0EC＋∠FEC＝90° 即：∠FEO＝90° ∴FE为⊙O的切线
9.（湖南衡阳）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2， 点C2在AB上．
①旋转角为多少度？ ②写出点B2的坐标．
解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示； （2）①由图可知，旋转角为90°； ②点B2的坐标为（6，2）．
10.（湖南衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．
解：（1）证明：连接OD，∵点C、D为半圆O的三等分点， ∴∠BOC＝∠BOD 又∠BAD＝∠BOD
∴∠BOC＝∠BAD ∴AE∥OC ∵AD⊥EC ∴OC⊥EC
∴CE为⊙O的切线．
（2）四边形AOCD是菱形；理由如下： ∵点C、D为半圆O的三等分点 ∴∠AOD＝∠COD＝60° ∵OA＝OD＝OC
∴△AOD和△COD都是等边三角形 ∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD ∴四边形AOCD是菱形．
11.（无锡）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45o．（1）求BD的长；（2）求图中阴影部分的面积．
A D
O
C B 解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90o． ∵BC＝6cm，AC＝8cm，∴AB＝10cm．∴OB＝5cm．
连OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45o．∴∠BOD＝90o． ∴BD＝OB＋OD＝52cm．
221212
2019-2020年中考数学试题分类汇编 圆
