第5讲
一、选择题
数系的扩充与复数的引入
1.(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(A.3，－2C.3，－3
)
B.3，2D.－1，4
解析(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a＝3，b＝－2，故选A.答案A
2.(2016·四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为(A.－15x4C.－20ix4B.15x4D.20ix4)
424解析展开式中含x4的项为第三项，∴T3＝C26·x·i＝－15x.
答案A
3.(2016·山东卷)若复数z＝A.1＋i解析∵z＝答案B
4.(2015·安徽卷)设i为虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝(A.3＋3i
B.－1＋3i
C.3＋i
)
2，其中i为虚数单位，则z＝(1－i
C.－1＋i
D.－1－i
)
B.1－i
2（1＋i）2＝＝1＋i，∴z＝1－i，故选B.1－i（1－i）（1＋i）
D.－1＋i
解析(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i.答案C
5.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(
)
B.－2
C.2
D.3
A.－3
解析因为(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故选A.答案A6.复数
1－i
对应的点位于(2－i
)
A.第一象限C.第三象限
B.第二象限D.第四象限
31，－1－i（1－i）（2＋i）31解析复数＝＝－i，∴其对应的点为55，在第四552－i（2－i）（2＋i）象限，故选D.答案D
7.(2017·北京东城综合测试)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为(
)
B.0
2A.－1C.1
m≠0，
D.2
m2－m＝0，
解得m＝1，故选C.
解析因为复数(m－m)＋mi为纯虚数，所以答案C8.已知复数z＝A.－1C.1解析∵z＝答案C
9.设z是复数，则下列命题中的假命题是(A.若z2≥0，则z是实数C.若z是虚数，则z2≥0
)
1＋2i
(i为虚数单位)，则z的虚部为(2－i
B.0D.i
)
1＋2i（1＋2i）（2＋i）5i＝＝＝i，故虚部为1.2－i（2－i）（2＋i）5
B.若z2＜0，则z是虚数D.若z是纯虚数，则z2＜0
解析举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.答案C
10.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(A.若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B.若z1＝z2，则z1＝z2C.若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z22D.若|z1|＝|z2|，则z21＝z2)
解析A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z1＝z2，成立.B中，z1＝z2，则z1＝z2成立.C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z1z1＝z2z2，C正确.D不一定成立，如
222z1＝1＋3i，z2＝2，则|z1|＝2＝|z2|，但z21＝－2＋23i，z2＝4，z1≠z2.
答案D
11.(2015·全国Ⅱ卷)若a为实数，且A.－4解析
由
B.－3
2＋ai
＝3＋i，则a等于(1＋i
C.3
D.4
)
2＋ai
＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实1＋i
数，所以a＝4.故选D.答案D
12.(2017·河北省三市联考)若复数z＝限，则实数a可以是(A.－4解析
因为z＝
B.－3
)
C.1
D.2
a＋3i＋a在复平面上对应的点在第二象i
a＋3i
＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，所以i
a<－3，选A.答案A二、填空题
13.(2016·江苏卷)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________.解析答案
(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的实部为5.5
114.(2015·四川卷)设i是虚数单位，则复数i－＝________.
i解析答案
1ii－＝i－2＝2i.ii2i
a15.(2016·天津卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为b________.
解析由(1＋i)(1－bi)＝a，得1＋b＋i(1－b)＝a，则1＋b＝a，1－b＝0，
解得a＝2，b＝1
所
a以＝2.b答案16.若
2
3＋bi
＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.1－i
3＋bi（3＋bi）3－b3＋b（1＋i）1＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.∴
22221－i
a＝0，b＝3.
解析a＝
3－b
，2
解得3＋bb＝，2答案
3
∴a＋b＝3.
17.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数A.EC.G
解析由题图知复数z＝3＋i，∴
3＋i（3＋i）（1－i）4－2iz＝＝＝＝2－i.1＋i1＋i（1＋i）2（1－i）z的点是(1＋i
)
B.FD.H
z∴表示复数的点为H.
1＋i答案D
18.z是z的共轭复数，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，则z等于(A.1＋iC.－1＋i
B.－1－iD.1－i
)
解析法一设z＝a＋bi，a，b为实数，则z＝a－bi.∵z＋z＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－z)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.2法二∵(z－z)i＝2，∴z－z＝＝－2i.
i
又z＋z＝2，∴(z－z)＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.答案D
19.(2014·全国Ⅰ卷)设z＝A.C.1232
1＋i，则|z|＝(1＋i
B.22
)
D.2
1－i11－i11＋i＝＋i＝＋i＝＋i，
221＋i2（1＋i）（1－i）
解析∵z＝
∴|z|＝答案B
121222＋2＝，故选B.
2
20.(2017·湖南师大附中月考)已知复数z＝(cosθ－isinθ)·(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是(πA.θ＝
4C.θ＝解析
3π4
)B.θ＝
π25π4
3π
时，z＝－4
D.θ＝
因为z＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i，所以当θ＝
π
.故选C.4
2i为纯虚数，当z为纯虚数时，θ＝kπ－答案C
121.(2017·哈尔滨六中期中)若复数z满足i·z＝－(1＋i)，则z的共轭复数的虚
2部是(1A.－i2
)
1B.i2
C.－
12
D.12
11－（1＋i）·i11i－（＋）12解析i·z＝－(1＋i)?z＝2＝＝(－1＋i)，则z的共
22ii·i
2021高考数学(理)一轮复习题库《第12章 第5讲 数系的扩充与复数的引入》
