实用标准 参数方程极坐标
Ⅰ复习提问
1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？
答：将极坐标的极点O作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x轴的正半轴。如果点P在直角坐标系下的坐标为（x，y），在极坐标系下的坐标为(?,?), 则有下列关系成立：
cos??
x?sin??y?
3、 参数方程?x?rcos?y?rsin?表示什么曲线？
4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？
5、 极坐标系的定义是什么？
答：取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在Ox上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=?，又∠xOP=?. ?和?的值确定了，则P点的位置就确定了。?叫做P点的极半径，?叫做P点的极角，(?,?)叫做P点的极坐标（规定?写在前，?写在后）。显然，每一对实数(?,?)决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
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Ⅱ 题型与方法归纳
1、 题型与考点（1）
?极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化
（2）
?参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化
利用参数方程求值域参数方程的几何意义 (3) ?
2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x?f?t?（或y?g(t)，再代入普通方程
F?x,y??0，求得另一关系y?g(t)（或x?f?t?）.一般地，常选择的参数有角、有向
线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）
?x?2t?2?t?（t为参数）例1、方程?表示的曲线是（ ） t?t??y?2?2A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆
解析：注意到2与2互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t的项，x2?y2?2t?2?ttt
?t????2?2?2t?t222即有y?x?4，又注意到 ??4，2t?0，2t?2?t?22t?2?t?2，即y?2，可见与以上参数方程等价的普通方程为
.显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B y2?x2?（4y?2）
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练习1、与普通方程x2?y?1?0等价的参数方程是（ ）（t为能数）
??x?sint?x?tgt?x?cost?x?1?tA.?B.?C.?D.? 222??y?cost?y?1?tgt?y?sint?y?t解析：所谓与方程x2?y?1?0等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且x,y的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.
对于A化为普通方程为x2?y?1?0，x???11，，，?y??01?； 对于B化为普通方程为x2?y?1?0，x?R，y?(??，1]； 对于C化为普通方程为x2?y?1?0，x?[0，??)，y?(??，1]; 对于D化为普通方程为x2?y?1?0，x???11，，，?y??01?.
而已知方程为x2?y?1?0，x?R，y?(??，显然与之等价的为B. 1]，
练习2、设P是椭圆2x2?3y2?12上的一个动点，则x?2y的最大值是 ，最小值为 .
分析：注意到变量?x,y?的几何意义，故研究二元函数x?2y的最值时，可转化为几何问题.若设x?2y?t，则方程x?2y?t表示一组直线，（对于t取不同的值，方程表示不同的直线），显然?x,y?既满足2x2?3y2?12，又满足x?2y?t，故点?x,y?是方程组
?2x2?3y2?12的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一??x?2y?t元二次方程的判别式??0问题.
解析：令x?2y?t，对于?x,y?既满足2x2?3y2?12，又满足x?2y?t，故点?x,y??2x2?3y2?1222是方程组?的公共解，依题意得11y?8t?y??2t?12??0，由
?x?2y?t??64t2?4?11??2t2?12??0，解得：?22?t?22，所以x?2y的最大值为22，
最小值为?22.
（2）、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直
??2?x2?y2?x??cos??角坐标为?x,y?，它的极坐标为??,??，则 ?；若把直角或?yy??sin???tg??x?坐标化为极坐标，求极角?时，应注意判断点P所在的象限（即角?的终边的位置），以便正确地求出角?. 例2、极坐标方程4??sin2?2?5表示的曲线是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.
解析：由4??sin2?2?4??1?cos??2??2?cos??，化为直角坐标系方程为52精彩文档
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2x2?y2?2x?5，化简得y2?5x?
25.显然该方程表示抛物线，故选D. 4练习1、已知直线的极坐标方程为?sin????2?，则极点到该直线的距离是 ???42???? 解析：极点的直角坐标为o?0,0?，对于方程?sin??????2?22??sin??cos??????2?2，4?2??可得??sin???cos??1，化为直角坐标方程为x?y?1?0，因此点到直线的距离为
练习2、极坐标方程?2cos????0转化成直角坐标方程为（ ）
A．x2?y2?0或y?1 B．x?1 C．x2?y2?0或x?1 D．y?1
分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解. 解析：?(?cos??1)?0,??
练习3、点M的直角坐标是(?1,2 2x2?y2?0,或?cos??x?1，因此选C.
3)，则点M的极坐标为（ ）
??2??) D．(2,2k??),(k?Z) A．(2,) B．(2,?) C．(2,33332?),(k?Z)都是极坐标，因此选C. 解析：(2,2k??3
（3）、参数方程与直角坐标方程互化
??x??2?10cos?例题3：已知曲线C1的参数方程为?（?为参数），曲线C2的极坐标方
??y?10sin?程为??2cos??6sin?．
（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由． 解：（1）由???x??2?10cos?得
??y?10sin?
(x?2)2?y2?10
∴曲线C1的普通方程为(x?2)?y?10 ∵??2cos??6sin?
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∴?2?2?cos??6?sin?
∵?2?x2?y2,x??cos?,y??sin?
∴x2?y2?2x?6y，即(x?1)2?(y?3)2?10 ∴曲线C2的直角坐标方程为
(x?1)2?(y?3)2?10
（2）∵圆C1的圆心为(?2,0)，圆C2的圆心为(1,3) ∴C1C2?∴两圆相交
设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2 ∴()?((?2?1)2?(0?3)2?32?210
d22322)?(10)2 2
∴d?22
∴公共弦长为22
练习1、坐标系与参数方程. 已知曲线C：??x?3?2cos?(?为参数，0≤?<2π)，
?y?1?2sin?（Ⅰ）将曲线化为普通方程；
（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．
解析：（Ⅰ）x2?y2?23x?2y?0
（Ⅱ）??23cos??sin?
（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线C1：???
?x?1?cos?(?为参数）上求一点，使它到直线C2：
?y?sin?1?x??22?t??2(t为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。 ?1?y?1?t??2精彩文档
极坐标与全参数方程题型及解题方法47396
