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2013年高考文科数学试题分类 立体几何 李远敬整理
一.三视图
1．（2013年高考重庆卷（文））某几何体的三视图如题(5)所示,则该几何体的表面积为
（A．180
B．200
C．220
D．240
【答案】D
2．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））一个四面体的顶点在空间直角坐标系O?xyz中的坐标
分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为
【答案】A
3．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为
（A．16?8?
B．8?8?
C．16?16?
D．8?16?
【答案】A
4．（2013年高考四川卷（文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是 （ ）
）
）
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A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
【答案】D
5．（2013年高考浙江卷（文））已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体
积是
A．108cm3
B．100 cm3
C．92cm3
D．84cm3
【答案】B
6．（2013年高考广东卷（文））某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是
211正视图侧视图俯视图图 2 A．
116 B．
3 C．
23 D．1
【答案】B
7．（2013年高考湖南（文））已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧
） ）（
（
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视图是一个面积为2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于______
（ ）
A．3 2B．1 C．2?1 2D．2
【答案】D
8．（2013年高考山东卷（文））一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如
右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是
A．45,8
B．45,83 C．4(5?1),83 D．8,8
【答案】B
9．（2013年高考江西卷（文））一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为
A．200+9π B．200+18π
C．140+9π
D．140+18π
【答案】A
10．（2013年高考北京卷（文））某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________.
（ ）
（ ）
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1 2 1 1 2 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 【答案】3
11．（2013年高考陕西卷（文））某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为________.
【答案】3?
12．（2013年高考辽宁卷（文））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
____________.
【答案】16??16
二.求值
13
．（
2013
年
高
考
大
纲
卷
（
文
））
已知正四棱ABCD?A1BC1D中，1AA1?2AB,则1CD与平面BDC所成角的正弦值等于
A．
23 B．33 C．
23 D．
13 【答案】A
锥
（ ）
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（ ）
14 ．（2013年高考北京卷（文））如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,P为对角线BD1的
三等分点,则P到各顶点的距离的不同取值有
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【答案】B
15．（2013年高考辽宁卷（文））已知三棱柱ABC?A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,
若AB?3，AC?4,AB?AC,AA1?12,则球O的半径为
A．
3172 B．210
C．
132 D．310
【答案】C
16．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O
为球心,OA为半径的球的表面积为________.
【答案】24?
17．（2013年高考湖北卷（文））我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在
下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺
二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 【答案】3
18．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知H是球O的直径AB上一点,AH:HB?1:2,AB?平面?,H为垂足,?截球O所得截面的面积为?,则球O的表面积为_______.
【答案】
9?2; 19．（2013年高考大纲卷（文））已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK?32，且圆O与圆K所在的平面所成角为60，则球O的表面积等于______.
）
）
（（学习必备 欢迎下载
【答案】16?
20．（2013年上海高考数学试题（文科））已知圆柱?的母线长为l,底面半径为r,O是上地
面圆心,A、B是下底面圆周上两个不同的点,BC是母线,如图.若直线OA与BC所成角的大小为
π1,则?________. 6r【答案】3
21（．2013年高考天津卷（文））已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为
9?, 2则正方体的棱长为 ______.
【答案】3
22．（2013年高考江西卷（文））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且
AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.
【答案】4
23．（2013年高考安徽（文））如图,正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号).
113时,S为四边形;②当CQ?时,S为等腰梯形;③当CQ?时,S22413与C1D1的交点R满足C1R?;④当?CQ?1时,S为六边形;⑤当CQ?1时,S的
34①当0?CQ?面积为6. 2学习必备 欢迎下载
【答案】①②③⑤
三.根据定理判定
24．（2013年高考浙江卷（文））设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,
（ ）
A．若m∥α,n∥α,则m∥n
C．若m∥n,m⊥α,则n⊥α 【答案】C
B．若m∥α,m∥β,则α∥β D．若m∥α,α⊥β,则m⊥β
25．（2013年高考广东卷（文））设l为直线,?,?是两个不同的平面,下列命题中正确的是
（ ）
A．若l//?,l//?,则?//? C．若l??,l//?,则?//?
【答案】B
B．若l??,l??,则?//? D．若???,l//?,则l??
四.证明线、面,面、面的平行、垂直.求体积.
26．（2013年高考辽宁卷（文））
如图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.
(I)求证:BC?平面PAC；
(II)设Q为PA的中点，G为?AOC的重心，求证：QG//平面PBC.
27．（2013年高考浙江卷（文））如图,在在四棱锥P-ABCD中,PA⊥面
ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G为线段PC上的点.
(Ⅰ)证明:BD⊥面PAC ;
(Ⅱ)若G是PC的中点,求DG与APC所成的角的正切值; (Ⅲ)若G满足PC⊥面BGD,求
PG
的值. GC
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28．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底
面中心, A1O⊥平面ABCD, AB?AA1?2. D1A1B1C1DAOBC
(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
29．（2013
年高考福建卷（文））如图,在四棱锥
P?ABCD中,PD?面ABCD,AB//DC,AB?AD,BC?5,DC?3,AD?4,
?PAD?60.
(1)当正视图方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥P?ABCD的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);
(2)若M为PA的中点,求证:DM//面PBC; (3)求三棱锥D?PBC的体积.
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30．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是
AB,AC边上的点,AD?AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将?ABF沿
AF折起,得到如图5所示的三棱锥A?BCF,其中BC?(1) 证明:DE//平面BCF; (2) 证明:CF?平面ABF; (3) 当AD?2. 22时,求三棱锥F?DEG的体积VF?DEG. 3AAGEDGDEFCBF图 4C
B图 5
,AA1=3,D
31．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=
是BC的中点,点E在菱BB1上运动.
(I) 证明:AD⊥C1E;
(II) 当异面直线AC,C1E 所成的角为60°时,求三菱子C1-A2B1E的体积.
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32．（2013年高考北京卷（文））如图,在四棱锥P?ABCD中,AB//CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底面ABCD,PA?AD,E和
F分别是CD和PC的中点,求证:
(1)PA?底面ABCD;(2)BE//平面PAD;(3)平面BEF?平面PCD
33．（2013
年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱
ABC?A1B1C1中,CA?CB,AB?AA1,?BAA1?60. (Ⅰ)证明:AB?AC; 1?(Ⅱ)若AB?CB?2,AC16,求三棱柱ABC?A1B1C1的体积.
CC1B1A1
BA34．（2013
年高考山东卷（文））如图,四棱锥
P?ABCD中,AB?AC,AB?PA,AB∥CD,AB?2CD,E,F,G,M,N分别为
PB,AB,BC,PD,PC的中点
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(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求证:平面EFG?平面EMN
35．（2013年高考四川卷（文））
如图,在三棱柱
ABC?A1B1C中,侧棱
AA1?底面
ABC,AB?AC?2AA1?2,?BAC?120,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD上异于端点的点.
(Ⅰ)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线
l?平面ADD1A1;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q,求三棱锥A1?QC1D的体积.(锥体体积公式:V?1Sh,其中S为底面面积,h为高) 3
36．（2013年高考湖北卷（文））如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点
向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2?d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2?d2,C1C2?d3,且d1?d2?d3. 过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体
A1B1C1?A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中.
(Ⅰ)证明:中截面DEFG是梯形;
(Ⅱ)在△ABC中,记BC?a,BC边上的高为h,面积为S. 在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1?A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估?S中?h来估
1算. 已知V?(d1?d2?d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.
3学习必备 欢迎下载
第20题图
37．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1) 证明: BC1//平面A1CD; (2) 设AA1= AC=CB=2,AB=2
,求三棱锥C一A1DE的体积.
38．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥P?ABCD的底面
ABCD是边长为2的菱
形,?BAD?60.已知PB?PD?2,PA?6 .
(Ⅰ)证明:PC?BD
(Ⅱ)若E为PA的中点,求三菱锥P?BCE的体积.
39．（2013年上海高考数学试题（文科））如图,正三棱锥O?ABC底面边长为2,高为1,求
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该三棱锥的体积及表面积.
40．（2013年高考天津卷（文））如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长
均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.
(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
41．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
如题(41)图,四棱锥P?ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA?23,BC?CD?2,
?ACB??ACD??3.zhangwlx
(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若侧棱PC上的点F满足PF?7FC,求三棱锥P?BDF的体积.
42（2013
年高考江西卷（文））如图,直四棱柱
ABCD – A1B1C1D1
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中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3 (1) 证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2) 求点B1 到平面EA1C1 的距离
26【答案】
27【答案】解:证明:(Ⅰ)由已知得三角形
ABC是等腰三角形,且底角等于
30°,且
AB?CB??AD?CD???ABD??CBD??ABD??CBD?60且?BAC?30BD?DB??学习必备 欢迎下载
PA?ABCD?BD?PA?,所以;、BD?AC,又因为??BD?PAC;
BD?AC?(Ⅱ)设成知
AC的
:
BD?O,由(1)知DO?PAC,连接GO,所以DG与面APC所
角
是
?DGO,由已知及(1),
BO?1,AO?CO?3?DO?7?3?2,所以
11OD24GO?PA?3?tan?DGO???322GO1332APC所成的角的正切值是DG与面
43; 3(Ⅲ)由已知得到:
PC?PA2?AC2?3?12?15,
在
,因为
PC?中,PD?BG?DP?C?PDC3?7?10,CD?7,PC?15,设
32PG315,GC?15??55GC2PG?x?CG?15?x?10?x2?7?(15?x)2?PG?x?
28【答案】解: (Ⅰ) 设B1D1线段的中点为O1.
?BD和B1D1是ABCD?A1B1C1D1的对应棱?BD//B1D1.
同理，?AO和A1O1是棱柱ABCD?A1B1C1D1的对应线段?AO//A1O1且AO//OC?A1O1//OC且A1O1?OC?四边形A1OCO1为平行四边形
?A1O//O1C.且A1O?BD?O,O1C?B1D1?O1?面A1BD//面CD1B1.(证毕)
(Ⅱ) ?A1O?面ABCD?A1O是三棱柱A1B1D1?ABD的高. 在正方形AB CD中,AO = 1 . 在RT?A1OA中，A1O?1.
三棱柱A1B1D1?ABD的体积VA1B1D1?ABD?S?ABD?A1O?所以,三棱柱A1B1D1?ABD的体积VA1B1D1?ABD?1.
1?(2)2?1?1. 229【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形ABCD中,过点C作CE?AB,垂足为E,
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由已知得,四边形ADCE为矩形,AE?CD?3 在Rt?BEC中,由BC?5,CE?4,依勾股定理得: BE?3,从而AB?6
又由PD?平面ABCD得,PD?AD
从而在Rt?PDA中,由AD?4,?PAD?60?,得PD?43 正视图如右图所示:
(Ⅱ)取PB中点N,连结MN,CN 在?PAB中,M是PA中点,
1AB?3,又CDAB,CD?3 2∴MNCD,MN?CD
∴四边形MNCD为平行四边形,∴DMCN 又DM?平面PBC,CN?平面PBC ∴DM平面PBC
1(Ⅲ)VD?PBC?VP?DBC?S?DBC?PD
3∴MNAB,MN?又s?PBC?6,PD?43,所以VD?PBC?83 解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)取AB的中点E,连结ME,DE 在梯形ABCD中,BECD,且BE?CD
∴四边形BCDE为平行四边形
∴DEBC,又DE?平面PBC,BC?平面PBC ∴DE平面PBC,又在?PAB中,MEPB
ME?平面PBC,PB?平面PBC ∴ME平面PBC.又DEME?E,
∴平面DME平面PBC,又DM?平面DME ∴DM平面PBC
(Ⅲ)同解法一
30【答案】(1)在等边三角形ABC中,AD?AE
?ADAE?DBEC,在折叠后的三棱锥A?BCF中
也成立,?DE//BC ,DE?平面BCF,
BC?平面BCF,?DE//平面BCF;
BF?CF?12.
(2)在等边三角形ABC中,F是BC的中点,所以AF?BC①,
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在三棱锥A?BCF中,
BC?22,?BC2?BF2?CF2?CF?BF②
BF?CF?F?CF?平面ABF;
(3)由(1)可知GE//CF,结合(2)可得GE?平面DFG.
11111?13?13?VF?DEG?VE?DFG???DG?FG?GF??????????32323??32?3324
31【答案】解: (Ⅰ) 因为E为动点，所以需证AD?面CBB1C1.
?ABC?A1B1C1是直棱柱?BB1?面ABC,且AD?面ABC?BB1?AD
又?RT?ABC是等腰直角且D为BC的中点，?BC?AD.
由上两点，且BC?BB1?B?AD?面CBB1C1且C1E?面CBB1C1?AD?C1E.(证毕)
(Ⅱ)?CA//C1A1,??A1C1E?60??在RT?A1C1E中，AE?6.
?在RT?A1B1E中，EB1?2.?ABC?A1B1C1是直棱柱?EB1是三棱锥E?A1B1C1的高.
VC1?A1B1E?VE?A1B1C1?
1122?S?A1B1C?EB1??1?2??所以三棱锥C1?A1B1E的体积为.333332【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD
所以PA垂直底面ABCD.
(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点 所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED为平行四边形,
所以BE∥AD,又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD 所以BE∥平面PAD.
(III)因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形 所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
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OA1OA1B,因为CA=CB,所以OC?AB,33【答案】【答案】(I)取AB的中点O,连接OCO、、
由于AB=A A1,∠BA A1=60,故?AA,B为等边三角形,所以OA1⊥AB.
0
因为OC?OA1=O,所以AB?平面OA1C.又A1CC平面OA1C,故AB?AC. (II)由题设知
?ABC与?AA1B都是边长为2的等边三角形，AA1B都是边长为2的等边三角形，所以2OC?OA1?3,又AC?6，则AC?OA12，故OA1?OC. 11因为OCAB?O,所以OA1?平面ABC，OA1为棱柱ABC-A1B1C1的高，ABC又?ABC的面积S34【答案】
?3，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=SABC?OA1?3.
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40【答案】
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41【答案】
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42【答案】解.(1)证明:过B作CD的垂线交CD
于F,则
BF?AD?2,EF?AB?DE?1,FC?2
在Rt?BFE中，BE＝3 ，Rt?BFC中，BC＝6 . 在?BCE中，因为BE?BC＝9＝EC,故BE?BC 由BB1?平面ABCD，得BE?BB1，所以BE?平面BB1C1C (2)三棱锥E?A1B1C1的体积V＝AA1?S?A1B1C1＝2 22213在Rt?A1D1C1中，AC＝A1D12?D1C12=32 , 11EA1＝AD?ED?AA1=23 同理,EC1＝EC?CC1=32 ，因此S?A1C1E?35.设点B1到平面EA1C1的距离为d,则三棱锥B1?EAC11的体积
22222101 V＝?d?S?A1EC1＝5d,从而5d?2,d?53
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35【答案】解:(Ⅰ)如图,在平面ABC内,过点P作直线l//BC,因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l//平面A1BC. 由已知,AB?AC,D是BC中点,所以BC⊥AD,则直线l?AD, 又因为AA1?底面ABC,所以AA1?l,
CQEDPlAC1A1BD1B1学习必备 欢迎下载
又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交, 所以直线l?平面ADD1A1
(Ⅱ)过D作DE?AC于E,因为AA1?平面ABC,所以AA1?DE,
又因为AC,AA1在平面AA1C1C内,且AC与AA1相交,所以DE?平面AA1C1C, 由AB?AC?2,∠BAC?120?,有AD?1,∠DAC?60?, 所以在△ACD中,DE?又S?AQC1?33, AD?2211133 A1C1?AA1?1,所以VA1?QC1D?VD?A1QC1?DE?SA1QC1???1?332623因此三棱锥A1?QC1D的体积为
6
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