03《空间角——线线角与线面角》课后练习答案
一、选择题
1．若直线 l 的方向向量为 a，平面α的法向量为 n，能使 l∥α的是
a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解析 若 l∥α，则 a·n＝0.而 A 中 a·n＝－2，B 中 a·n＝1＋5＝6，C 中 a·n＝－1，只有 D 选项中 a·n＝ －3＋3＝0. 答案 D
1
2．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是棱 BB1 中点，G 是 DD1 中点，F 是 BC 上一点且 FB＝BC，则 GB 与
4 EF 所成的角为 A．30°
B．120°
(
)．
D．90°
()． A．
C．60°
解析 如图建立直角坐标系 D－xyz，
设 DA＝1，由已知条件，得
11 30，0， 1，1，，1，0 ， 2 ，F 4 G 2 ，B(1，1，0)，E → → 1 111，1，－－，0，－ GB＝ 2 ， EF＝ 4 2 → →
→ → → → GB·EF cos〈GB，EF〉＝ → → ＝0，则GB⊥EF.
|GB||EF|
答案 D 二、填空题
83．若向量 a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为，则λ＝
9
8 a·b 2－λ＋4
解析 由已知得＝＝，
9 |a||b| 5＋λ2· 9 2
∴8 5＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2 或λ＝ .
55
2
答案 －2 或
55
→ → → 4．已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－
.
→ 的序号是
．
→ → 1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面 ABCD 的法向量；④AP∥BD.其中正确
→ → → → 解析 ∵AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
→ → → → →
答案 ①②③ 三、解答题
→ → → → 又AB与AD不平行，∴AP是平面 ABCD 的法向量，则③正确．
由于BD＝AD－AB＝(2，3，4)，AP＝(－1，2，－1)，∴BD与AP不平行，故④错误．
5．如图，四棱锥 P－ABCD 的底面为正方形，侧棱 PA⊥底面 ABCD，且 PA＝AD＝2，E，F，H 分别是线段 PA，PD，AB 的中点． 求证：(1)PB∥平面 EFH； (2)PD⊥平面 AHF.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz.
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， E(0，0，1)，F(0，1，1)，H(1，0，0)．
→ → (1)∵PB＝(2，0，－2)，EH＝(1，0，－1)， → → ∴PB＝2EH，∴PB∥EH.
∵PB?平面 EFH，且 EH?平面 EFH， ∴PB∥平面 EFH.
→ → → → → (2)PD＝(0，2，－2)，AH＝(1，0，0)，AF＝(0，1，1)， ∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， → → PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0， ∴PD⊥AF，PD⊥AH，
又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面 AHF.
6．如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点．
（1）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值； （2）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值．
解：如图，在正三棱柱 ABC?A1B1C1 中，设 AC，A1C1 的中点分别为 O，O1， ???? ???? ??????
则 OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB,OC ,OO1} 为基底，建立空间直角坐 标系 O?xyz．
因为 AB=AA1=2，
所以 A(0, ?1, 0), B( 3, 0, 0),C(0,1, 0), A1(0, ?1, 2) ,B1( 3, 0, 2),C1 (0,1, 2) ．
（1）因为 P 为 AP( 3 , ? 1 , 2)
1B1 的中点，所以 2 2 ， ?????BP ? (??3 ??????
从而
2 , ? 1
2 , 2), AC1 ? (0, 2, 2)
，???? ??????
| BP ? AC
1 |
| ?1 ? 4 |
3 10
| cos BP, AC1 |? ???? ????? ? 故
| BP | ? | AC5 ? 2 2 ??
1 | 20 ． 3 10
因此，异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值为 20 ．Q(
3 （2）因为 2 2 , , 0) 1 Q 为 BC 的中点，所以
，
?????
3
????? ??????
?
AQ ? ( 3 AC ? (0, 2, 2),CC ? (0, 0, 2) 因此 2 , , 0)
2 ， 1 1 ．设 n=（x，y，z）为平面 AQC1 的一个法向量，
? ?????? AQ ? n ? 0, 3
?3 x ? y ? 0, ??
???????
2 2 则 ?? AC1 ? n ? 0, 即??2 y ? 2z ? 0.
不妨取 n ? ( 3, ?1,1) ，
设直线 CC1 与平面 AQC1 所成角为?，
??????
| CC
1 ? n |
2
5
sin??| cos CC1 , n |? ????? 则
| CC ? 5 ? 2 ??
1 | ? | n |5 ， 5
所以直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 5 ．
第10周-03-空间角——线线角与线面角答案
