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专题限时集训(三) 等差数列、等比数列
(对应学生用书第85页)
(限时：40分钟)
题型1 等差、等比数列的基本运算 题型2 等差、等比数列的基本性质 题型3 等差、等比数列的判定与证明 一、选择题 1．(2017·合肥二模)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，S6＝3，则S10＝( )
1
A． 10C．－10
??3a1＋3d＝6
D [由题意，得?
?6a1＋15d＝3???a1＝3
解得?
?d＝－1?
1,4,5,9,12,13 3,6,8,10 2,7,11,14 B．0 D．－15
，
，
所以S10＝10a1＋45d＝－15，故选D.]
2．(2016·安庆二模)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等
比数列，则λ的值等于( ) A．1 1C． 2
B．－1 D．2
*
2??D [由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ?an－?.由于数列{an－1}是等比数列，所λ??2
以＝1，得λ＝2.] λ
3．(2017·武汉4月模拟)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝4，S6＝12，则S2＝( )
A．－1 C．1
B．0 D．3
B [{an}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也是等差数列，所以2(4－S2)＝S2＋(12－4)?S2＝0，故选B.]
1
4．(2017·广州毕业班综合测试)已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，a5，a4成等差数列，
2
则
a3＋a5
的值是( ) a4＋a6
A.
5－1
2
B．
5＋1
2
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C.
3－5
23＋5D． 2
12
A [设等比数列{an}的公比为q，由a3，a5，a4成等差数列可得a5＝a3＋a4，即a3q＝a3＋
21＋51－5a3＋a5a3＋a3qa3
a3q，故q－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，由＝＝22a4＋a6a4＋a4q2a4
2
2
＋q2＋q2
1＝＝25＋1
q＝5－5＋
5－
＝5－1
，故选A.] 2
5．(2017·福州毕业班综合测试)设等差数列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，若ak是a6与ak＋6的等
比中项，则k＝( ) A．5 C．9
B．6 D．11
2
C [因为ak是a6与ak＋6的等比中项，所以ak＝a6ak＋6，又等差数列{an}的公差d≠0，且a2＝－d，所以[a2＋(k－2)d]＝(a2＋4d)[a2＋(k＋4)d]，所以(k－3)＝3(k＋3)，解得k＝9，或k＝0(舍去)，故选C.]
6．(2017·福建八校最后一模)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡
三角形”早了300多年．如图3-1是杨辉三角数阵，记an为图中第n行各个数之和，则a5＋
2
2
a11的值为( )
【导学号：07804024】
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
…… 图3-1
A．528 C．1 038
2
B．1 020 D．1 040
3
4
D [a1＝1，a2＝2，a3＝4＝2，a4＝8＝2，a5＝16＝2，……，所以an＝2＋2＝1 040，故选D.]
10
n－1
，a5＋a11＝2
4
7．(2017·湖北七市(州)联考)在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(an，an－1)在直线
22
x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( )
A．3－1
n1－－
B．
2
n 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档
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1＋3C．
2
2
2
n3n＋nD．
2
2
2
2
A [由点(an，an－1)在直线x－9y＝0上，得an－9an－1＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝3－1，故选A.]
8．(2017·石家庄一模)已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直
线x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项的和为( ) A．－200 C．0
B．－100 D．－50
nan＝3，∴数列an－1
－3－1
na1
－q1－qn＝＝B [因为函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称．又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝二、填空题
9．(2017·山西5月模拟)已知在公差不为零的等差数列{an}中，前n项和为Sn，若a5＝3(a1＋a4)，
则＝________.
27
[设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列的通项公式可知，a5＝3(a1＋a4)?a1＋4d4
9×89a1＋d2S927d27
＝3(a1＋a1＋3d)，化简得a1＝－d，∴＝＝＝.]
a6a1＋5d4d4
10．(2017·开封模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S7＝S11，且a1＞0，则Sn最大时n的值是________．
7×6
9 [法一：(函数法求最值)设等差数列{an}的公差为d，由S7＝S11可得7a1＋d＝11a1
211×102n＋d，即2a1＋17d＝0，得到d＝－a1，所以Sn＝na1＋217
a1＋a100
2
＝50(a50＋a51)＝－100，故选B.]
S9
a6
n－
2
nn－
d＝na1＋2
a181a1?2?2
×?－a1?＝－(n－9)＋a1，由a1＞0可知－＜0.故当n＝9时，Sn最大．
171717?17?
法二：(邻项变号法求最值)根据S7＝S11可得a8＋a9＋a10＋a11＝0.由等差数列的性质可得a9＋a10＝0，由a1＞0可知a9＞0，a10＜0.当所有正数项相加时，Sn取得最大值，所以前9项和S9最大．]
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11．(2017·河南新乡三模)若数列{an＋1－an}是等比数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，则an＝________.
【导学号：07804025】
3
n－1
＋1
[∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3， 2
n－1
∴an＋1－an＝31－3
， 1－3
n－1
，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3
n－2
＝
3
∵a1＝1，∴an＝
n－1
＋1.] 2
n12．(2016·山西质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝3(2－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝5n－2.
数列{an}和{bn}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}．若数列{cn}的前n项恰为数列{an}的第kn项，则数列{kn}的前32项的和是________． 2 016 [当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3(2－1)－3(23，∴an＝3×2
8
5
n－1
nn－1
－1)＝3×23×2
t－1
n－1
，当n＝1时，a1＝S1＝
.令at＝bs，∴3×2
t－1
＝5s－2，则s＝
5
＋2
.t＝1，s＝1，符合题意，265
t＝2，s＝，不合题意，t＝3，s＝，不合题意，t＝4，s＝，不合题意，t＝5，s＝
10，符合题意，……，∴{kn}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴数列{kn}的前32项32×31
之和为32×1＋×4＝2 016.]
2三、解答题
13．(2016·广州五校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式． 2a1＋7d＝4，??
[解] (1)由题知?5×4
5ad＝－5，1＋?2?
??a1＝－5，
解得?
?d＝2，?
14
5
*
故an ＝2n－7(n∈N)．
7
(2)由an＝2n－7<0，得n<，即n≤3，
2
所以当n≤3时，an＝2n－7<0，当n≥4时，an＝2n－7>0. 易知Sn＝n－6n，S3＝－9，S5＝－5，
所以T5＝－(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＝－S3＋(S5－S3)＝S5－2S3＝13. 当n≤3时，Tn＝－Sn＝6n－n；
当n≥4时，Tn＝－S3＋(Sn－S3)＝Sn－2S3＝n－6n＋18.
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2
2
2
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??6n－n，n≤3，故Tn＝?2
?n－6n＋18，n≥4.?
2
14．(2017·湖北黄冈三月调研)数列{an}中，a1＝2，an＋1＝
n＋1
an(n∈N*)． 2n?an?
(1)证明：数列??是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
?n?
(2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn＜2.
4n－an【导学号：07804026】
[证明] (1)由题设得
?an?an＋11ana11
＝·，又＝2，所以数列??是首项为2，公比为的等比数n＋12n12?n?
ann－1
an?1?列，所以＝2×??
n?2?
＝2
2－n，an＝n·2
2－n4n＝n. 2
4nn2an1
(2)bn＝＝＝n，
4n－an4n2－1
4n－n2因为对任意n∈N2－1≥2所以bn≤
12
n－1*,nn－1
，
. 1111?1?所以Tn≤1＋＋2＋3＋…＋n－1＝2?1－n?＜2. 2222?2?
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高考数学二轮复习练习：专题限时集训3 等差数列、等比数列
