立体几何专题复习
1.四棱锥A?BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC?底面BCDE，BC?2，
CD?2，AB?AC． （Ⅰ）证明：AD?CE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45?，求二面角C?AD?E的大小．
B C D
E
A 2.如图，在三棱锥P?ABC中，AC?BC?2，?ACB?90?，AP?BP?AB，
PC?AC．
（Ⅰ）求证：PC?AB；
（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小； （Ⅲ）求点C到平面APB的距离．
A B F G E D C O 3.如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，?ABC??4,
OA?底面ABCD, OA?2,M为OA的中点，N为BC的中点
（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；
O（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
MABNCD4.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC?侧面A1ABB1.
（Ⅰ）求证：AB?BC；
（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为?,二面角A1?BC?A的大小为?，试判断?与
?的大小关系，并予以证明.
5. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝2，底面ABCD
为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为的值；若不存在，请说明理由.
32？若存在，求出
AQ QD
1.解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O， ?AB?AC，?AF?BC，
又面ABC?面BCDE，?AF?面BCDE， ?AF?CE．
tan?CED?tan?FDC?2， 2??OED??ODE?90?，??DOE?90?，即CE?DF，
?CE?面ADF，?CE?AD．
（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．
?CG?AD，CE?AD，?AD?面CEG，?EG?AD， 则?CGE即为所求二面角的平面角．
CG?630AC?CD2322，DG?，EG?DE?DG?， ?33AD3CG2?GE2?CE210， ??CE?6，则cos?CGE?2CG?GE10?10??10?C?AD?E??CGE?π?arccos?π?arccos，即二面角的大小??10???10??．
????2.（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD．
?AP?BP， ?PD?AB． ?AC?BC， ?CD?AB． ?PD?CD?D，
P
?AB?平面PCD． ?PC?平面PCD， ?PC?AB．
（Ⅱ）?AC?BC，AP?BP， ?△APC≌△BPC． 又PC?AC， ?PC?BC．
?又?ACB?90，即AC?BC，且AC?PC?C，
A
C D
B
P E A
C B
?BC?平面PAC．
取AP中点E．连结BE，CE． ?AB?BP，?BE?AP．
?EC是BE在平面PAC内的射影， ?CE?AP．
??BEC是二面角B?AP?C的平面角．
?在△BCE中，?BCE?90，BC?2，BE?3AB?6， 2?sin?BEC?BC6． ?BE36． 3P
H D
?二面角B?AP?C的大小为arcsin（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB?平面PCD， ?平面APB?平面PCD．
过C作CH?PD，垂足为H． ?平面APB?平面PCD?PD，
A
C B
?CH?平面APB．
?CH的长即为点C到平面APB的距离．
由（Ⅰ）知PC?AB，又PC?AC，且AB?AC?A， ?PC?平面ABC． ?CD?平面ABC， ?PC?CD．
在Rt△PCD中，CD?13AB?2，PD?PB?6， 22?PC?PD2?CD2?2．
CH?PC?CD23． ?PD323． 3?点C到平面APB的距离为
3.（1）取OB中点E，连接ME，NE
?ME‖AB,AB‖CD，?ME‖CD
又?NE‖OC,?平面MNE‖平面OCD
?MN‖平面OCD
（2）?CD‖AB,
∴?MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP?CD于P,连接MP
∵OA?平面ABCD，∴CD?MP
∵?ADP??4,∴DP=2 2DP1??,?MDC??MDP? MD23MD?MA2?AD2?2，∴cos?MDP?所以 AB与MD所成角的大小为
? 3（3）∵AB‖平面OCD,∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作
AQ?OP 于点Q，∵AP?CD,OA?CD,∴CD?平面OAP,∴AQ?CD
又 ∵AQ?OP,∴AQ?平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离
∵OP?OD2?DP2?OA2?AD2?DP2?4?1?2 22?132?22，
AP?DP?
2OA?AP2?2，所以点B到平面OCD的距离为2 ∴AQ??3OP33224.（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作 AD⊥A1B于D，则
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC?侧面A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面A1BC,又BC?平面A1BC， 所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱， 则AA1⊥底面ABC， 所以AA1⊥BC.
又AA1?AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1， 又AB?侧面A1ABB1，故AB⊥BC.
（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知?ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，
?ABA1是二面角A1—BC—A的平面角，即?ACD??,?ABA1??,
于是在Rt△ADC中，sin??ADAD,在Rt△ADB中，sin??, ACAB由AB＜AC，得sin?＜sin?，又0＜?，?＜，所以?＜?，
5. （Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD?平面ABCD=AD, PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,
有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,
所以OB＝2，
在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，
?2在Rt△PBO中，tan∠PBO＝
PG122??,?PBO?arctan. BC2222. 23. 2所以异面直线PB与CD所成的角是arctan（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 设QD＝x，则S?DQC?1x，由（Ⅱ）得CD=OB=2， 2 在Rt△POC中， PC?OC2?OP2?所以PC=CD=DP, S?PCD?2,
33?(2)2?, 42AQ1?. QD3由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时
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