第二章 一元二次函数、方程和不等式全章复习讲解 (含答案)
【要点梳理】（不等式性质、解一元二次不等式、基本不等式） 一、不等式
1.定义 不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子. 2..不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有：
性质1 对称性：a?b ? b?a； 性质2 传递性：a?b, b?c ? a?c；
性质3 加法法则（同向不等式可加性）：a?b?a?c?b?c?c?R?； ?c?0?ac?bc，?性质4 乘法法则：若a?b，则?c?0?ac?bc，
?c?0?ac?bc.??c?0???补充：除法法则：若a?b且c?0，则??c?0???ab?，cc ab?.cc性质5 可加法则：a?b,c?d?a?c?b?d； 性质6 可乘法则：a?b?0,c?d?0?a?c?b?d?0； 性质7 可乘方性：a?b?0?n?N*??an?bn?0；
可开方性：a?b?0?n?N?且n?1??na?nb. 要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 二、比较两代数式大小的方法 作差法：
1. 任意两个代数式a、b，可以作差a?b后比较a?b与0的关系，进一步比较a与b的大小. ①a?b?0?a?b； ②a?b?0?a?b； ③a?b?0?a?b. 作商法：
任意两个值为正的代数式a、b，可以作商a?b后比较①
a与1的关系，进一步比较a与b的大小. baaa?1?a?b； ②?1?a?b； ③?1?a?b. bbb要点诠释：若代数式a、b都为负数，也可以用作商法. 中间量法：
若两个代数式a、b不容易直接判断大小，可引入第三个量c分别与a、b作比较，若满足a?b且b?c，则
a?c. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选择0或1为中间量.
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三、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
设f?x??ax2?bx?c(a?0)，判别式??b2?4ac，按照??0，??0，??0该函数图象(抛物线)与x轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示：
??b2?4ac ??0 ??0 ??0 函数y?f?x? 的图象 方程f?x?=0 的解 不等式f?x??0 的解集 不等式f?x??0 的解集 要点诠释：
（1）一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根x1、x2是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y?ax2?bx?c与x轴的交点的横坐标；
有两相等实根 bx1?x2?? 2a?b?xx???? 2a?? 有两相异实根 x1,x2(x1?x2) 无实根 ?xx?x或x?x? 12R ?xx1?x?x2? ? ? （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分??0,??0,??0三种情况，得到一元二次不等式ax2?bx?c?0与ax2?bx?c?0的解集. 四、解一元二次不等式
1. 解一元二次不等式ax2+bx+c>0?a?0?的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程ax2?bx?c?0(a?0)，计算判别式?：
①??0时，求出两根x1、x2，且x1?x2（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②??0时，求根x1?x2??③??0时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.
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b； 2a五、基本不等式 1.对公式a2?b2?2ab及
a?b?ab的理解. 2（1）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a?b时取等号”. 2.由公式a2?b2?2ab和①
a?b?ab可以引申出常用的常用结论 2ba； ??2（a,b同号）
abba②???2（a,b异号）； aba?ba2?b2a?b2a2?b2?ab??(a?0,b?0)或ab?(③)?(a?0,b?0) 112222?ab2a2?b2a?ba?b2要点诠释： a?b?2ab可以变形为：ab?，?ab可以变形为：ab?().
22222六、用基本不等式ab?a?b求最大（小）值 2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：
1．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
2．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值.
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