第三节 函数的奇偶性与周期性
A组 基础题组
1.(2016河北石家庄质量检测(二))下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=
B.y=|x|-1 C.y=lgx
D.y=
2.(2016日照模拟)若函数f(x)=A.
B.
C.
D.-
为奇函数,则a= ( )
3.(2017黑龙江鸡西一中期末)若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则一定成立的是( )
A.函数f(g(x))是奇函数 C.函数f(f(x))是奇函数
B.函数g(f(x))是奇函数 D.函数g(g(x))是奇函数
4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( ) A.-3 B.-1 C.1
D.3
.若g(2)=3,则g(-2)= .
5.(2016贵州适应性考试)已知f(x)是奇函数,g(x)=
6.若偶函数y=f(x)在R上是周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)= .
7.定义在R上的奇函数y=f(x)在(0,+∞)上递增,且f为 .
8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期; (2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.
=-f
成立.
=0,则满足f(x)>0的x的集合
9.设f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=(1)求当x<0时,f(x)的解析式; (2)解不等式f(x)<-.
.
B组 提升题组
10.(2017大连三十六中期末)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(2017)+f(2018)的值为( ) A.-2 B.-1 C.0
D.1
11.设奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为( ) A.{x|-1
B.{x|x<-1或0 13.已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=x+,且当x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值是 . 14.已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数. (1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0; (2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围. 15.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(π)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积; (3)写出在(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间. 答案全解全析 A组 基础题组 1.B A项,y=是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减,故A错误;易知B正确;C项,y=lgx是非奇非偶函数,故C错误;D项,y= 在(0,+∞)上单调递减,故D错误,选B. 2.A 因为f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0, 故 + =0,可得a=.也可考虑定义域的对称性,函数f(x)的定义域为,因为f(x)是奇函数,定义域一定关于原点对称,所以a=. 3.C 由题意得,函数 f(x),g(x)分别满足 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),则有 f(g(-x))=f(g(x)),g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),g(g(-x))=g(g(x)),故f(f(x))是奇函数. 4.C 解法一:∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-x)-g(-x)=-x 3+x2+1, 又由题意可知 f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1,故选C. 解法二:令f(x)=x2+1,g(x)=-x3,显然符合题意,则f(1)+g(1)=12+1-13=1.选C. 5.答案 -1 解析 由题意可得g(2)=g(-2)= = =-1. =3,则f(2)=1,又f(x)是奇函数,则f(-2)=-1,所以 6.答案 -1 解析 ∵f(x)=(x+1)·(x-a)(-3≤x≤3), ∴f(x)=x2+(1-a)x-a(-3≤x≤3), ∵y=f(x)为偶函数,∴1-a=0. ∴a=1,f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). 易得f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 7.答案 =0,得函数y=f(x)在(-∞,0)上递增,且 解析 由奇函数y=f(x)在(0,+∞)上递增,且ff =0,∴f(x)>0时,x>或- . , =-f 即满足f(x)>0的x的集合为8.解析 (1)由f且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=f函数. =-f =-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是以3为周期的周期 (2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2. 9.解析 (1)f(x)是奇函数,当x<0时,-x>0,此时f(x)=-f(-x)=-(2)f(x)<-,当x>0时,当x<0时, <-,所以 <-,所以 <-,所以 = . >,所以3x-1<8,解得x<2,所以x∈(0,2); >-,所以3-x>32,所以x<-2,所以原不等式的解集是(-∞,-2)∪(0,2). B组 提升题组 10.D 因为函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),又因为函数的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f((2+x)+2)=-f(x+2)=f(x). 所以f(x)的周期为4.又函数的图象关于x=1对称,所以f(0)=f(2),所以f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=21-1+20-1=1. 11.D 因为函数f(x)是奇函数且在(0,+∞)上是增函数,所以f(x)在(-∞,0)上也是增函数.因为f(-x)=-f(x),所以f(-1)=-f(1)=0,不等式x[f(x)-f(-x)]<0可化为2xf(x)<0,即xf(x)<0.当x<0时,可得f(x)>0=f(-1),所以x>-1,所以-1 f(x)= =1+ ,设 g(x)= ,易知 g(x)为奇函
2018届高三数学一轮复习：第二章 函数第三节 函数的奇偶性与周期性
