期中数学试卷（理科）
题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 若全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x-1＞0}，则A∩?UB=（ ）
A. {x|0＜x≤1} B. {x|1＜x＜2} C. {x|0＜x＜1} D. {x|1≤x＜2} 2. 若复数z满足z（i-1）=2i（i为虚数单位），则为（ ）
A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i
3. 函数y=e|x|-4cosx（e为自然对数的底数）的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 在菱形ABCD中，若，则?等于（ ）
A. 2 C. ||cos A
B. -2
D. 与菱形的边长有关
5. 已知F为抛物线y2=4x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，若点A在抛物线上，且|AF|=5，则|PA|+|PO|的最小值为（ ）
A.
B. 2 C.
D. 2
6. 已知x，y∈R且x-2y-4=0，则2x+的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 256
7. 命题“?x∈N，x2＞1”的否定为（ ）
A. ?x∈N，x2≤1 B. ?x0∈N，x2≤1 C. ?x∈N，x2＜1 D. ?x0∈N，x2＜1 8. 在区间（0，6）中任取一个实数a，使函数f（x）=
上是增函数的概率为（ ）
，在R
A. B. C. D.
9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点M为正方形ABCD的中心，则异面直线AB1与D1M所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a=4，b=2
则△ABC的面积为（ ）
A. B. C. 6
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，ccosB=（2a-b）cosC，
D. 12
11. 已知函数f（x）=ex（x-aex）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是
（ ）
A. （0，）
12. 过双曲线C：
B. （1，3） C. （，3） D. （，1）
，
=1b＞0）N两点，（a＞0，左焦点F的直线l与C交于M，且=3
若OM⊥FN，则C的离心率为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设曲线y=x-aln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=______． 14. 若x，y满足约束条件
，则z=3x-2y的最小值为______．
15. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2，B为半圆上任意一点，
以线段AB为腰作等腰直角△ABC（C、O两点在直线AB的两侧），当∠AOB变化时，OC≤m恒成立，则m的最小值为______．
16. 已知点A，B，C在半径为2的球O的球面上，且OA，OB，OC两两所成的角相等，
则当三棱锥O-ABC的体积最大时，平面ABC截球O所得的截面圆的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a5=18，S3+S5=50．数列{bn}为等比数列，
且b1=a1，3b2=a1a4．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记
，其前n项和Tn，证明：
．
18. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质
量等级对应关系如表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：
空气质量指50] （50，100] （100，150] （150，200] （200，250] （250，300] （0，数 空气质量等1级优 级 2级良 3级轻度污4级中度污5级重度污6级严重污染 染 染 染 该社团将该校区在2018年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如图，把该直方图所得频率估计为概率．
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（1）以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？
（2）从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；
（3）从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望．
19. 如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=1，AB=AC=，D为BC的
中点，过点D作DQ平行于AP，且DQ=1．连接QB，QC，QP． （1）证明：AQ⊥平面PBC；
（2）求直线BC与平面ABQ所成角的余弦值． （3）求二面角B-AQ-C的余弦值．
20. 已知椭圆C：
点P（2，-1）满足
=1（a＞b＞0）的离心率为，A1A2分别为椭圆C的左、右顶点，
=1．
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（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l经过点P且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
21. 已知函数f（x）=axlnx-bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x-e．
（1）求a，b的值及函数f（x）的极值；
（2）若m∈Z．且f（x）-m（x-1）＞0对任意的x＞1恒成立，求m的最大值． 22. 已知曲线l的参数方程为
（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设P（2，1），直线l与曲线交于点A，B，求|PA|?|PB|的值．
23. 已知函数f（x）=|x+a|+|x-1|．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若?x0∈R，f（x0）≤|2a-1|，求实数a的取值范围．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x-1＞0}={x|x＞1}， ∴A∩?UB={x|0＜x＜2}∩{x|x≤1}={x|0＜x≤1}． 故选：A．
先求出集合B，进而求出CUB，由此能求出A∩?UB．
本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用． 2.【答案】A
【解析】解：Z（i-1）=2i（i为虚数单位）， ∴-Z（1-i）（1+i）=2i（1+i）， ∴-2z=2（i-1）， 解得z=1-i． 则=1+i．
故选：A．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵y=e|x|-4cosx（e为自然对数的底数）是偶函数， ∴函数y=e|x|-4cosx（e为自然对数的底数）的图象关于y轴对称， 由此排除B和D，
∴f（0）=e|0|-4cos0=1-4=-3＜0， 由此排除A． 故选：C．
y=e|x|-4cosx（e为自然对数的底数）是偶函数，由此排除B和D，f（0）=e|0|-4cos0=1-4=-3＜0，由此排除A．由此能求出结果．
本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性、特殖点的函数值的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 4.【答案】B
【解析】解：∵ABCD为菱形， ∴∵∴∴2∴
， ，
=
，
，
，
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2020年辽宁省六校协作体高二（下）期中数学试卷（理科）
