空间直角坐标系 空间两点间的距离公式
●三维目标 1．知识与技能
(1)通过具体情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性．
(2)了解空间直角坐标系，掌握空间点的坐标的确定方法和过程，感受类比思想在探究新知识过程中的作用．
(3)理解空间两点间距离公式的推导过程，掌握空间两点间的距离公式． 2．过程与方法
让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．
3．情感、态度与价值观
(1)通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系和研究事物从低维到高维的一般方法．
(2)通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，不断地拓展自己的思维空间．
●重点难点
重点：空间直角坐标系的有关概念，空间点的坐标的确定方法及空间两点间的距离公式． 难点：空间直角坐标系的产生过程及空间两点间距离公式的推导．
重难点突破：以学生熟知的身边实例为切入点，让学生感知建立空间直角坐标系的必要性，在此基础上，类比平面直角坐标系的建系原则，引导学生建立空间直角坐标系，同时借助长方体，以形象直观的方式，引入空间点的坐标及空间两点间的距离公式．为了更好的突出重点、突破难点，教师可适当引入案例，通过学生的训练及教师的点拨，帮助学生实现知识的内化．
●教学建议
本节知识是在二维平面直角坐标系基础上的推广，是空间立体几何的代数化，是以后学习“空间向量”等内容的基础，具有承前启后的作用．鉴于本节知识的特点，本节课易采用启发式教学方法，从回忆平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法，平面内的点与坐标之间的一一对应关系入手，逐一讲解空间直角坐标系的有关概念及空间点的坐标的确定方法．教学时，可围绕在空间直角坐标系中点的坐标的确定这一教学重点，通过巩固与练习反复强化如何在坐标系中利用点的坐标的概念来确定点的坐标这一过程，以巩固
学生对新知识的理解，实现从感性认识到理性认识的飞跃．对于空间两点间距离公式的推导可采用“空间问题平面化”的思想给予解决，适当训练掌握其形式便可，不必扩充过多．
●教学流程
创设问题情境，引出问题：如何确定空间中某一点的位置？?引导学生类比平面直角坐标系的建系原则建立空间直角坐标系.
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通过引导学生回答所提问题理解空间直角坐标系中点的确定方式及两点间的距离公式.?通过例1及其变式训练，使学生掌握空间直角坐标系中点的确定方法.
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通过例2及其变式训练，使学生掌握点的对称坐标的求法.
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通过例3及其变式训练，使学生掌握两点间的距离求法.归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
课标解读 2.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点) 【问题导思】 (1)在数轴上(如图)，一个实数就能确定一个点的位置．
(2)在平面直角坐标系中(如图)，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．
空间直角坐标系 1.了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)
1．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？ 【提示】 三个．
2．空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？
【提示】 空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直． 1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
3．空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
【问题导思】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？
空间两点间的距离公式
【提示】
a2＋b2＋c2.
空间两点间的距离公式
(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.
(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2.
求空间点的坐标
图4－3－1
如图4－3－1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝BC＝3，AB＝5，AA1＝4，
建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．
【思路探究】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先找出点在平面xDy内的射影以确定其横纵坐标，再找出点在z轴上的射影以确定其竖坐标．
【自主解答】 如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.
由题意知长方体的棱长AD＝BC＝3， DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4， 显然D(0,0,0)， A在x轴上， ∴A(3,0,0)；
C在y轴上，∴C(0,5,0)； D1在z轴上，∴D1(0,0,4)； B在xOy平面内，∴B(3,5,0)； A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)； C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)． 由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)， ∴B1的横坐标为3，纵坐标为5， ∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)， ∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4)．
1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则： (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上． (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点M的坐标的方法：
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z)．
3．坐标平面上的点的坐标特征：
xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0)． yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z)． xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z)． 4．坐标轴上的点的坐标特征：
x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)． y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)． z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．
画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系．
(1)求各顶点的坐标； (2)求棱C1C中点的坐标；
(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标．
【解】 建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.
(1)各顶点坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)．
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(2)棱CC1的中点为M(1,1，)．
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(3)面AA1B1B对角线交点为N(，0，).
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求对称点的坐标
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