考点测试42 空间点、直线、平面间的位置关系
高考概览 高考在本考点的常考题型为选择题、解答题，分值为5分或12分，中等难度 1．理解空间直线、平面位置关系的定义 考纲研读 2．了解可以作为推理依据的公理和定理 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题
一、基础小题
1．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( ) A．一定是异面直线 C．不可能是平行直线 答案 C
解析 c与b可能相交，可能异面，不可能平行，若c∥b，c∥a，则a∥b或a与b重合，与已知矛盾．故选C.
2．下列命题中正确的个数为( )
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面． A．0 C．2 答案 C
解析 ①②都正确．空间中不共面的五个点不一定能确定10个平面，比如四棱锥中五个点最多可确定7个平面，所以③错误．故选C.
3．下面四个说法，正确的有( )
①如果两个平面有四个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面；
③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
④在空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． A．1个 C．3个 答案 A
B．2个 D．4个 B．1 D．3
B．一定是相交直线 D．不可能是相交直线
解析 ①若四个公共点不在同一条直线上，则这两个平面重合，若四个公共点在同一条直线上，则这两个平面可能相交；②两条异面直线不能确定一个平面；③若M∈α，M∈β，则M是平面α与β的公共点，又α∩β＝l，则M∈l；④在空间中，相交于同一点的三条直线可能在同一平面内，也可能不在同一平面内，故选A.
4．已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l( )
A．相交 C．垂直 答案 C
解析 当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线
B．平行 D．异面
l?平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直；当直线l与平面α相交时，在
平面α内至少有一条直线与直线l垂直．所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．
5．如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∩BD＝F，DC1∩CD1＝E，则直线EF是平面
ACD1与( )
A．平面BDB1的交线 C．平面ACB1的交线 答案 B
解析 连接BC1.因为E∈DC1，F∈BD，所以EF?平面BDC1，故平面ACD1∩平面BDC1＝EF.故选B.
6．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
B．平面BDC1的交线 D．平面ACC1的交线
A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 答案 A
解析 连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面．所以A1C?平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．同理，O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．所以A，M，O三点共线．
7．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为( )
A．90° C．45° 答案 C
解析 如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，OP，则O是AC，BD的中点，又E是PC的中点，∴OE∥AP，∴∠OEB为异面直线PA与BE所成的角(或其补角)．∵四棱锥P－ABCD是正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD，则∠PAO为直线PA与平面ABCD所成的角，即∠PAO＝60°.又PA＝2，∴OA＝OB＝1，OE＝1，∴在Rt△OBE中，∠OEB＝45°，即异面直线PA与BE所成的角为45°，故选C.
B．60° D．30°
8．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝3，AD＝1，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A.6 42 6
B．D．
6 33 6
C．
答案 A
解析 如图，连接A1D，A1C1，由题易知B1C∥A1D，∴∠C1DA1是异面直线B1C与C1D所成的角，又AA1＝AB＝3，AD＝1，∴A1D＝2，C1D＝6，A1C1＝2，由余弦定理，得cos∠C1DA1＝
C1D2＋A1D2－A1C261
＝，故选A.
2C1D·A1D4
9．如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．
答案
π 3
解析 如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，AG，则GP∥BD，所以∠APG为异π
面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝.
3
10. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线． 其中正确的结论为________(填序号)． 答案 ③④
解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误． 11. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别为棱A1D1，C1D1的中点，过M，N，B三点的截面与平面BCC1B1的交线为l，则直线l与AD所成角的余弦值为________．
答案
313
13
解析 如图，在平面ABCD中，过B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接BM，BN，NE，
NE交CC1于点F，连接BF，则BF就是过M，N，B三点的截面与平面BCC1B1的交线l，由题意
得CE＝DC＝2NC1，∴CF＝2C1F，∵BC∥AD，∴∠FBC是直线l与AD所成的角(或所成角的补角)，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，则BC＝3，CF＝2，BF＝9＋4＝13，∴cos∠FBC＝＝3
313313
＝.∴直线l与AD所成角的余弦值为.
131313
BCBF
12．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则M点的轨迹长度为________．
答案
2
解析 如图所示，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF.
可得四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G∥D1E. 同理可得C1H∥CF. ∵C1H∩C1G＝C1，
2024高考数学一轮复习考点通关练第六章立体几何考点测试42空间点、直线、平面间的位置关系(含解析)苏教版
