第二节 利用导数解决函数的单调性问题
最新考纲 ］ 1.了解函数的单调性和导数的关系 .2.能利用导数研究函数的 单调性 ，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不会超过三次）
函数的单调性与导数的关系
条件 函数 y＝（f x） 在区间f′（x）＞0 f′（x）＜0 结论 f（x）在（ a，b）内单调递增 f（ x）在（ a，b）内单调递减 f（ x）在（ a，b）内是常数函数
f′（x）＝ 0 （ a， b）上常用结论］
1. 在某区间内 f′（x）＞0（f′（x）＜ 0）是函数 f（x）在此区间上为增（减） 函数的充分不必要条件
2.可导函数 f（x）在（ a，b）上是增（减）函数的充要条件是对 ? x∈（a，
恒为零.
一、思考辨析 （正确的打“√”，错误的打“ ×”）
（1）若函数 f（x）在（ a，b）内单调递增，那么一定有 f′（x）＞0.（ ） （2）如果函数 f（x）在某个区间内恒有 f′（x）＝ 0，则 f（ x）在此区间内 没有单调性 .（
）
（3）在（a，b）内 f′（x）≤0 且 f′（x）＝0 的根有有限个，则 f（x）在（a， b）内是减函数 .（ ）
［答案］ （1） × （2）√ （3）√ 二、教材改编
1
1.
如图是
函数 y＝（f x）的导函数 y＝f（′x）的图象，则下面判断正确的是 （ ）
A.在区间（－
B. 在区间（ 1,3）上 f（ x）是减函数 C. 在区间（ 4,5）上 f（ x）是增函数 D. 在区间（ 3,5）上 f（x）是增函数
C [由图象可知 ，当 x∈（4,5）时，f′（x）>0，故 f（x）在（ 4,5）上是 增函数 .]
2.
－x 在（ 0，π）上的单调性是（
A. 先增后减 C.增函数
B.先减后增 D.减函数
函数 f（x）＝ cos x）
D [因为 f′（x）＝－ sin x－1<0 在（0，π）上恒成立 ， 所以 f（x）在（ 0，π）上是减函数 ，故选 D.] 3.
调递减区间为
函数 f（x）＝ x－ln x 的单.
1
（0,1] [函数 f（x）的定义域为 { x|x>0} ，由 f（′x）＝1－x≤0，得 0 x 所以函数 f（x）的单调递减区间为（ 0,1].] 4. 知 （f x）＝ x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则实数 a 的最大值是 3 [f′（x）＝ 3x－a≥ 0，即 a≤3x， 又因为 x∈[1，＋∞ ），所以 a≤3，即 a 的最大值是 3.] 2 2 已. 考点 1 不含参数函数的单调性 2 求函数单调区间的步骤 1）确定函数 f（x）的定义域 . 2）求 f′（ x） 3
2020年高考理科数学大一轮提分讲义第3章第2节利用导数解决函数的单调性问题
