直线和圆题组二
一、 选择题 1．（广东省河源市龙川一中2011届高三理）
平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数y?9?x2图象上任意两个次整点作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13 答案 B. 二、填空题
2．（江苏泰兴市重点中学2011届高三理）函数y?x?a的图象关于直线x?3对称．则
a?_____________．
答案 2. 3．（广东省湛江一中2011届高三10月月考理）
如图，AB为圆O的直径，弦AC、BD交于P，若AB?3，CD?1，则 C cos?APD?_______．
D P A O B 1DC111答案 3．答：．连结AD,OD,OC,则cos?APD?sin?DAP?sin?DOC?2?
32OD34．（2011湖南嘉禾一中）（本题满分13 分）
2
已知椭圆的右焦点F 与抛物线y= 4x 的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，
过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两点，点C 在右准线l 上，BC//x 轴． （1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率； （2）求证：线段EF被直线AC 平分．
x2y3答案 解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)……1分
ab
?y2?4x的焦点为F（1，0）
?c?1,又2b?2,
?b?1,a2?b2?c2?2,……………………3分
x2?y2?1. 所以，椭圆的标准方程为2
其离心率为e?2 ……………………5分 2 （2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，
∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则M(,0) 若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，－y1），C（2，－y1） ∴AC的中点为N(,0)
∴线段EF的中点与AC的中点重合，
∴线段EF被直线AC平分，…………………………6分 若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为
3232y?k(x?1),k?0,A(x1,y1),B(x2,?y2)
则C(2,?y2)…………………………7分
x2?y2?1 把y?k(x?1)代入2得(1?2k)x?4kx?2(k?1)?0. ………………8分
22224k22(k2?1),x1x2?则有x1?x2?………………9分
1?2k21?2k2∴kAM?y1x1?32?k(x1?1) 3x1?2?2k(x1?1)y,kCM?2?2k(x2?1).……………………10分
32x1?32?2(x1?1)?(x2?1)2(x1?3)
2x1?3∵kAM?kCM?2k?2k3(x1?x2)?2x1x2?4?0
2x1?3∴kAM?kCM,
∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，
∴线段EF被直线AC平分。………………………………13分 5．（江苏泰兴2011届高三理）（本小题满分14分）
已知：在函数的图象上，f(x)?mx?x以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为
3?4.
（I）求m,n的值；
（II）是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)?k?1993对于x?[?1,3]恒成立？如果存在，
请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由。
答案 5．依题意，得f?(1)?tan
?2,即3m?1?1,m?. 43因为f(1)?n,所以n??.…………6分
13
（II）令f?(x)?2x?1?0,得x??22.…………8分 2
当?1?x??2时,f?(x)?2x2?1?0; 2
当?22?x?时,f?(x)?2x2?1?0; 22 当
2?x?3时,f?(x)?2x2?1?0; 212222,f(?)?,f()??,f(3)?15. 323232?f(x)?15.…………12分 3
又f(?1)?
因此， 当x?[?1,3]时,?
要使得不等式f(x)?k?1993对于x?[?1,3]恒成立，则k?15?1993?2008. 所以，存在最小的正整数k?2008.使得不等式f(x)?k?1993对于x?[?1,3]恒成立
6．（福建省福州八中2011届高三文）（本小题满分14分）
3x2y2. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点（0，1），离心率e?2ab（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线x?my?1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A’.试问：当m变化时直线A'B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
?b?1,?答案 6．解：（I）依题意可得?c?3,
?2?a?a2?b2?c2,? 解得a?2,b?1.
…………2分
…………3分
x2?y2?1. 所以椭圆C的方程是4?x22?y?1, ? （II）由?4?x?my?1,? …………4分
得(my?1)?4y?4,即(m?4)y?2my?3?0.且△>0恒成立.…………6分
记A(x1,y1),B(x2,y2)，则A'(x1,?y1),
2222m,yy??3. 且y1?y2??22m?412m2?4∴A',B的直线方程为y?y1?…………8分
y2?y1(x?x1). …………9分 x2?x1 令y=0，得x?x2?x1y?x …………10分
y2?y111又x2?x1=m(y2?y1)，x1=my1?1 …………11分 ∴x?x2?x1m(y2?y1)y12my2y1y1?x1=?my1?1=?1 …………12分
y2?y1y2?y1y2?y1x?2m(?3)m?4?1=3?1=4 …………13分 m?22m?42 这说明，当m变化时，直线A'B与x轴交于点S（4，0）
…………14分
7. （河北省唐山一中2011届高三理）已知过点A（1,1）且斜率为?m（m?0）的直线l与x,y轴分别交于P,Q两点，分别过P,Q作直线2x?y?0的垂线，垂足分别为R,S,求四边形PRSQ的面积的最小值.
答案 4.设直线l方程为y?1??m(x?1),则P（1?1），Q(0,1?m)…………2分 m从而PR和QS的方程分别为x?2y?m?1?0和x?2y?2(m?1)?0，……5分 m2m?2?1?又PR//QS?RS?1m3?2m??5212?m,QS?m?1 m，又PR?555?四边形PRSQ为梯形………………………………9分
119119118?SPRSQ?(m??)2??(2?)2??
5m4805480518?四边形PRSQ的面积的最小值为 ……………… 12分
58. （福建省四地六校联考2011届高三理）（本小题满分14分）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，
每小题7分，任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）(本小题满分7分) 选修4-2:矩阵与变换
??1a?已知a,b?R，若M???所对应的变换TM把直线L:2x?y?3变换为自身，求实数
b3??a,b，并求M的逆矩阵。
（2）（本题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
?x?t?l 已知直线的参数方程：?（t为参数）和圆C的极坐标方程：??22sin(??)。
4y?1?2t?①将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； ②判断直线l和圆C的位置关系。 （3）（本题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?|x?2| ①解不等式f(x)?5；
②证明：对任意x?[?2,3]，不等式f(x)?f(x?3)?5成立.
答案 5、（1） 设P(x,y)为直线2x?y?3上任意一点其在M的作用下变为(x?,y?)
??1a??x???x?ay??x???x???x?ay ??????????????b3??y??bx?3y??y??y?bx?3y代入2x?y?3得：?(b?2)x?(2a?3)y?3 ……………3分
??b?2?2?b??4其与2x?y?3完全一样得? ???2a?3??1?a?1则?
2011届全国各地高考数学试题汇编 直线和圆2
