第 12 讲 反比例函数
考点 1 反比例函数的概念
一般地，形如 y= (k 为常数，k≠① 量，y 是 x 的函数.自变量的取值范围是②
考点 2 反比例函数的图象与性质
反比例函数 y= (k≠0)的图象是③ ，且关于④ 对称. 函数图象 所在象限 性质 k ＞ 0 一、三象限(x、y 同号) 在每个象限内，y 随 x 增大而⑤ y= (k≠0) k ＜ 0 二、四象限(x、y 异号) 在每个象限内，y 随 x 增大而⑥ 【易错提示】在应用反比例函数的性质时，要注意“在每个象限内”这几个字的含义，切忌 说 k＞0 时，y 就随 x 的增大而减小.
考点 3 反比例函数中 k 的几何意义 k 的几何意义 反比例函数图象上的点(x，y)具有两数之积(xy=k)为⑦ 这一特点，则过双 曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数 ⑧ . 如图，过双曲线上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，所得的矩形 PMON 的面积 S=PM·PN= ⑨ ·⑩ =? . 结论的推导 ∵y=，∴xy=? ，∴S=? . 在上图中，易知 S△POM=S△PON=? .所以过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂 线，则以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为常数? . 拓展 考点 4 确定反比例函数的解析式 常用方法 步骤 ? ①函数解析式为 y= (k≠○17 )；②列方程；③解方程确定○18 的值；④ 确定解析式. )的函数称为反比例函数，其中 x 是自变 .
考点 5 反比例函数的实际应用
19 ①根据实际情况建立 ○函数模型； 0 或其他学科的公式等确定函数解析式； 步骤 ②利用 2○ ③根据反比例函数的性质解决实际问题. 【易错提示】在实际问题中，求出的解析式要注意自变量和函数的取值范围.
1.确定点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横坐标代入解析式，求出 y 的值. 若所求值等于纵坐标，则点在函数图象上.若所求值不等于纵坐标，则点不在函数图象上； ②把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于 k，则点在函数图象上.若乘积不等于 k，则点不在函 数图象上.
2.反比例函数值的大小比较时，应分 x＞0 与 x＜0 两种情况讨论，而不能笼统地说成“k ＜0 时，y 随 x 的增大而增大”.
3.在一次函数与反比例函数的函数值的大小比较中，要把 x 的取值以两交点横坐标、原 点为分界点分成四部分进行分析.
命题点 1 反比例函数的图象和性质
例 1 (2013·河北)反比例函数 y＝的图象如图所示，以下结论：①常数 m＜-1；②在每个 象限内，y 随 x 的增大而增大；③若 A(-1，h)，B(2，k)在图象上，则 h＜k；④若 P(x，y) 在图象上，则 P′(-x，-y)也在图象上.其中正确的是( ) A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
方法归纳：解决反比例函数题，一般采用数形结合的思想，同时注意增减性的条件是“在每 个象限内”.反比例函数是中心对称图形，故若(-a，b)在反比例函数 y＝图象上，则(a，-b) 也在反比例函数图象上.
1.(2014·扬州)若反比例函数 y= (k≠0)的图象经过点 P(-2，3)，则该函数的图象不经过的 点是( ) A.(3，-2) B.(1，-6) C.(-1，6) D.(-1，-6) 2.(2014·无锡)已知双曲线 y=经过点(-2,1)，则 k 的值等于 .
3.(2014·南京)已知反比例函数 y=的图象经过点 A(-2，3)，则当 x＝-3 时，y＝ . 4.(2014·连云港)若函数 y=的图象在同一象限内，y 随 x 的增大而增大，则 m 的值可以 是 .(写出一个即可)
5.已知反比例函数 y=(m-1)的图象在第二、四象限，求 m 的值，并指出在每个象限内 y 随 x 的变化情况.
命题点 2 反比例函数中 k 的几何意义
例 2 (2014·济宁)如图，四边形 OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点 A、D 在 x 轴的正半轴上， 点 C 在 y 轴的正半轴上，点 F 在 AB 上，点 B、E 在反比例函数 y=的图象上，OA＝1，OC＝6， 则正方形 ADEF 的边长为 .
【思路点拨】先确定 B 点坐标(1，6)，得 k；设 AD＝t，得 E 点坐标，代入反比例函数解析 式求 t.
方法归纳：过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成 的矩形面积等于|k|，结合函数图象所在的象限可以确定 k 的值，反过来，根据 k 的值，可 以确定此矩形的面积.
1.(2013·铜仁)如图，正方形 ABOC 的边长为 2，反比例函数 y=的图象经过点 A，则 k 的值 是( A.2
)
B.-2
C.4
D.-4
2.(2014·娄底)如图，M 为反比例函数 y=的图象上的一点，MA 垂直 y 轴，垂足为 △A， MAO 的面积为 2，则 k 的值为
.
3.(2014·滨州)如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条对角线的 长分别是 6 和 4.反比例函数 y= (x<0)的图象经过顶点 C，则 k 的值为
别为 M、，长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM=MN=NC,△AOC 的面积为 6，则 k 的值为 N 延
.
4.如图，点 A、B 在反比例函数 y= (k>0,x>0)的图象上，过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分
.
5.在平面直角坐标系中，若一条平行于 x 轴的直线 l 分别交双曲线 y=-和 y=于 A，B 两点，P 是 x 轴上任意一点，则△ABP 的面积等于 . 命题点 3 确定反比例函数的解析式
例 3 (2014·湖州)如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，点 A(2,5)在反比 例函数 y=的图象上，过点 A 的直线 y=x+b 交 x 轴于点 B. (1)求 k 和 b 的值. (2)求△OAB 的面积.
【思路点拨】(1)把点 A 的坐标代入一次函数、反比例函数解析式，求得 k、b 的值. (2)求一次函数与 x 轴交点，得 OB 长，进而求得△OAB 的面积. 【解答】
方法归纳：求函数解析式，一般先根据题意，找出或求出图象上的相关点，用待定系数法列 方程求解.且常常将平面坐标系中三角形的面积问题转化为求线段的长度进而转化为求点的 坐标问题.
【解答版】《火线100天》-中考数学复习-第七单元-第12讲-反比例函数
