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立体几何经典例题剖析
考点一 空间向量及其运算
1. 已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP?试判断：点P与A,B,C是否一定共面？
解析：要判断点P与A,B,C是否一定共面，即是要判断是否存在有序实数对x,y使AP?xAB?yAC或对空间任一点O，有OP?OA?xAB?yAC。
答案：由题意：5OP?OA?2OB?2OC，
∴(OP?OA)?2(OB?OP)?2(OC?OP)， ∴AP?2PB?2PC，即PA??2PB?2PC， 所以，点P与A,B,C共面．
点评：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对
照形式将已知条件进行转化运算．
2. 如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且
122OA?OB?OC， 55511BM?BD，AN?AE．求证：MN//平面CDE．
33解析：要证明MN//平面CDE，只要证明向量NM可以用平面CDE内的两
个不共线的向量DE和DC线性表示．
1BD，所以311111MB?DB?DA?AB．同理AN?AD?DE，又
33333CD?BA??AB，所以MN?MB?BA?AN 11112121?(DA?AB)?BA?(AD?DE)?BA?DE?CD?DE．又CD与DE不共线，根据共面向33333333量定理，可知MN，CD，DE共面．由于MN不在平面CDE内，所以MN//平面CDE．
答案:证明：如图，因为M在BD上，且BM?点评：空间任意的两向量都是共面的．与空间的任两条直线不一定共面要区别开. 考点二 证明空间线面平行与垂直
3. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC 1//平面CDB1；
解析：（1）证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；（2）证明线面平行也有两类：一是通过线线平行得到线面平行，二是通过面面平行得到线面平行. 答案:解法一：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5，
∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；
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（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴ DE//AC1，∵ DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1， ∴AC1//平面CDB1；
解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，
AE C A Cz B30），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）
2（1）∵AC＝（－3,0，0），BC1＝（0，－4,0），∴AC?BC1＝0，∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵DE＝（－∴DE∥AC1.
点评：2．平行问题的转化：
转化
转化
B y x 31，0,2），AC1＝（－3,0，4），∴DE?AC1，22面面平行线面平行线线平行；
主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理．
4.（2007武汉3月）如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB?AD，CD?AD，PA?底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)在侧面PAD内找一点N，使MN?平面PBD； (3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直， 二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
答案：（1）?M是PC的中点，取PD的中点E，则
11CD，又ABCD 22?四边形ABME为平行四边形 ?BM∥EA，BM?平面PAD EA?平面PAD ?BM∥平面PAD （4分）
（2）以A为原点，以AB、AD、AP 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B?1,0,0)?，C?2,2,0?，D?0,2,0?，P?0,0,2?，M?1,1,1?，E?0,1,1?
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在平面PAD内设N?0,y,z?，MN???1,y?1,z?1?，PB??1,0,?2?，DB??1,?2,0?由
?????????MN?PB?MN?PB??1?2z?2?0?z?
????????????????????????1 2
1 2
（8分）
由MN?DB?MN?DB??1?2y?2?0?y??11??N?0,,??N是AE的中点，此时MN?平面PBD
?22? （3）设直线PC与平面PBD所成的角为?
????????????11??PC??2,2,?2?，MN???1,?,??，设PC,MN为?
22??cos??PC?MN??????????????223?62??PCMN22sin???cos??
332 3故直线PC与平面PBD所成角的正弦为
解法二：
（1）?M是PC的中点，取PD的中点E，则
（12分）
11CD，又ABCD 22?四边形ABME为平行四边形 ?BM∥EA，BM?平面PAD EA?平面PAD ?BM∥平面PAD （4分）
（2）由（1）知ABME为平行四边形
PA?底面ABCD?PA?AB，又AB?AD
?AB?平面PAD 同理CD?平面PAD，AE?平面PAD
?AB?AE?ABME为矩形 CD∥ME，CD?PD，又PD?AE ?ME?PD?PD?平面ABMEPD?平面PBD
?平面PBD?平面ABME 作MF?EB故MF?平面PBD
MEMF交AE于N，在矩形ABME内，AB?ME?1，AE?2
22?MF?，NE?N为AE的中点
23?当点N为AE的中点时，MN?平面PBD （8分）
（3）由（2）知MF为点M到平面PBD的距离，?MPF为直线PC与平面PBD所成的角，设为?，
MF2sin???
MP3?直线PC与平面PBD所成的角的正弦值为
2 3点评：（1）证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；（2）求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；（3）证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来
考点三 求空间图形中的角与距离
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立体几何典型题型(理科)
