2019届高考数学复习精品教学案专题16-选修4-5不等式证明选讲(学生版)

高中数学专题十六：不等式证明选讲

高中数学专题十六 选修4-5

第一讲 不等式的基本性质 1．实数大小的比较

(1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系．

(2)设a、b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A、B.当点A在点B的左边时，ab．

(3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系(不等式的意义)

?a>b?a－b>0?a＝b?a－b＝0 ?a

(4)两个实数比较大小的步骤

①作差；②变形；③判断差的符号；④结论． 2．不等关系与不等式

(1)不等号有≠，>，<，≥，≤共5个． (2)相等关系和不等关系

任意给定两个实数，它们之间要么相等，要么不相等．现实生活中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的，不等是普遍的、绝对的，因此绝大多数的量都是以不等关系存在的．

(3)不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式． (4)不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系． 3.不等式的基本性质 (1)对称性：a>b?b

(2)传递性：a>b，b>c?a>c；

(3)可加性：a>b，c∈R?a＋c>b＋c； (4)加法法则：a>b，c>d?a＋c>b＋d；

(5)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd；

(7)乘方法则：a>b>0，n∈N且n≥2?an>bn； nn

(8)开方法则：a>b>0，n∈N且n≥2?a>b.

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（9）倒数法则，即a>b>0?a

1．重要不等式

定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．基本不等式

a＋b

(1)定理2：如果a，b>0，那么a?b?2ab ( 2≥ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．

(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，

①如果它们的和S是定值，则当且仅当x＝y时，它们的积P取得最大值，

S2

最大值为4.

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②如果它们的积P是定值，则当且仅当x＝y时，它们的和S取得最小值，最小值为2P.

a＋b

3．基本不等式ab≤2的几何解释

如图，AB是⊙O的直径，C是AB上任意一点，DE是过C点垂直AB的弦．若

a＋b

AC＝a，BC＝b，则AB＝a＋b，⊙O的半径R＝2，Rt△ACD∽Rt△DCB，CD2

a＋b

＝AC·BC＝ab，CD＝ab，CD≤R?ab≤2，当且仅当C点与O点重合时，

a＋bAB

CD＝R＝2，即ab＝2. 4．几个常用的重要不等式

(1)如果a∈R，那么a2≥0，当且仅当a＝0时取等号；

（a＋b）2

(2)如果a，b>0，那么ab≤，当且仅当a＝b时等号成立．

4

1

(3)如果a>0，那么a＋a≥2，当且仅当a＝1时等号成立．

ab

(4)如果ab>0，那么b＋a≥2，当且仅当a＝b时等号成立．

? 三个正数的算术-几何平均不等式

1．如果a、b、c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

a＋b＋c32．(定理3)如果a、b、c∈R＋，那么a?b?c?3abc (3≥abc)，

3当且仅当a＝b＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．

a1＋a2＋…＋ann

3．如果a1，a2，…，an∈R＋，那么≥a1a2…an，当且仅当

na1＝a2＝…＝an时，等号成立．即对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均． 第二讲 绝对值不等式 ? 绝对值三角不等式

1．绝对值及其几何意义

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??a（a≥0）

(1)绝对值定义：|a|＝?

??－a（a<0）

(2)绝对值几何意义：实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点O

的距离|OA|.

(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A，B分别对应实数x1，x2，则|AB|＝|x1－x2|．

2．绝对值三角不等式

(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

推论1：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. 推论2：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.

(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

? 绝对值不等式的解法

1．|x|a型不等式的解法 设a>0，则(1)|x|a?x<－a或x>a； (4)|x|≥a?x≤－a或x≥a．

2．|ax＋b|≤c(c>0)与|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；

(2)|ax＋b|≥c?ax＋b≤－c或ax＋b≥c．

3．|x－a|＋|x－b|≤c与|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法

(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释．

(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值号内多项式的正、负号，进而去掉绝对值号．

(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增减性)是关键． ? 绝对值的几何意义

1.(1)|x|的几何意义是数轴上点x与原点O的距离；

(2)|x－a|＋|x－b|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之和； (3)|x－a|－|x－b|的几何意义是数轴上点x到点a和点b的距离之差． 2.绝对值不等式的几何意义

(1)|x|≤a(a>0)的几何意义是以点a和－a为端点的线段，|x|≤a的解集是[－a，a]．

(2)|x|>a(a>0)的几何意义是数轴除去以点a和－a为端点的线段后剩下的两条射线，|x|>a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)．

3．解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变形为不含绝对值的不等式(组)求解．例如：分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

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