课时跟踪检测（二十八） 平面向量的概念及线性运算
1．(2024·山东省实验中学高三摸底测试)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝0 C．a与b反向共线
B．a＝b
D．存在正实数λ，使得a＝λb
解析：选D 由已知得，向量a与b为同向向量，即存在正实数λ，使得a＝λb，故选D.
2．设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( )
A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
3．(2024·广东仲元中学期中)在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( ) ―→―→
A．|AB|＝|AD|一定成立 ―→―→
C．AD＝BC一定成立
―→―→―→
B．AC＝AB＋AD一定成立 ―→―→―→
D．BD＝AD－AB一定成立
―→―→―→―→―→
解析：选A 在平行四边形ABCD中，AC＝AB＋AD一定成立，AD＝BC一定成立，―→―→―→―→―→
BD＝AD－AB一定成立，但|AB|＝|AD|不一定成立．故选A.
―→1―→―→
4．(2024·石家庄高三一检)在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a，
2―→―→
CA＝b，则CD＝( )
12A.a＋b 3334C.a＋b 55
21B.a＋b 3343D.a＋b 55
―→1―→―→1―→―→―→―→―→1―→―→
解析：选B ∵BD＝DA，∴BD＝BA，∴CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝CB＋
2331―→―→2―→1―→21
(CA－CB)＝CB＋CA＝a＋b，故选B. 33333
5.(2024·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( )
―→33
①PQ＝a＋b；
22―→3
②PT＝a－b；
2―→31
③PS＝a－b；
22―→3
④PR＝a＋b.
2A．①② C．①③
B．③④ D．②④
―→33
解析：选C ①根据向量的加法法则，得PQ＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法
2231―→33―→―→―→33
法则，得PT＝a－b，故②错误；③PS＝PQ＋QS＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；
2222223331―→―→
④PR＝PQ＋QR―→＝a＋b－b＝a＋b，故④错误，故选C.
2222
―→―→―→
6．(2024·嘉兴调研)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于( )
A．30° C．60°
B．45° D．90°
―→―→―→―→―→―→解析：选A 由OA＋OB＋CO＝0得，OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.
7.(2024·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满11―→―→―→―→―→
足AC＝2CB，OC＝λOA＋μOB (λ，μ∈R)，则＋＝( )
λμ1
A. 32C. 9
2B. 39D. 2
―→―→―→―→2―→―→2―→―→1―→2―→
解析：选D ∵OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OA＋OB，
3333121139
∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D.
33λμ22
―→―→8．(2024·张家口月考)在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若2OA＋OC＝―→―→
2OD＋OB，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形
B．梯形
C．平行四边形 D．菱形
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选B ∵2OA＋OC＝2OD＋OB，∴2(OA－OD)＝OB－OC，即2DA＝CB，―→―→
∴DA∥CB，且2|DA |＝|CB|，∴四边形ABCD一定是梯形．故选B.
―→―→―→
9．(2024·甘肃诊断)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝－4CD，则AD＝( ) 1―→3―→A.AB－AC 443―→1―→C.AB－AC 44
1―→3―→
B.AB＋AC 443―→1―→D.AB＋AC 44
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选B 法一：设AD＝xAB＋yAC，由BC＝－4CD可得，BA＋AC＝－4CA?－4x＝－1，?―→―→―→―→―→
－4AD，即－AB－3AC＝－4xAB－4yAC，则?
??－4y＝－3，
1
x＝，??4解得?3
y＝??4，
即
―→1―→3―→
AD＝AB＋AC，故选B.
44
1――→―→→―→―→―→―→―→1―→法二：在△ABC中，BC＝－4CD，即－BC＝CD，则AD＝AC＋CD＝AC－BC44―→1―→―→1―→3―→
＝AC－(BA＋AC)＝AB＋AC，故选B.
444
―→1―→
10.(2024·曲阜模拟)如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的
3―→―→2―→
一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为( )
9
1A. 3C．1
1B. 9D．3
―→1―→―→―→―→―→2―→―→8―→
解析：选B 因为AN＝NC，所以AC＝4AN.所以AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，
39981
因为B，P，N共线，所以m＋＝1，m＝.
99
―→1―→―→―→
11．(2024·河南三市联考)若AP＝PB，AB＝(λ＋1)BP，则λ＝________.
23――→1―→―→→
解析：由AP＝PB可知，点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则AB＝－BP，
2235
所以λ＋1＝－，解得λ＝－. 22
5
答案：－
2
―→―→
12．(2024·石家庄高三摸底考试)平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若AB＝λAM―→
＋μDB，则λμ＝________.
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：∵DB＝AB－AD＝AB－BC＝AB－2BM＝3AB－2AM，∴AB＝λAM＋―→―→―→―→―→―→
3μAB－2μAM，∴(1－3μ)AB＝(λ－2μ)AM，∵AB和AM是不共线向量，∴
??1－3μ＝0，???λ－2μ＝0，
??
解得?2
λ＝??3，μ＝，1
3
2
∴λμ＝. 9
2答案： 9
13．(2024·盐城一模)在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，―→1―→―→
且AD＝AC＋λAB (λ∈R)，则AD的长为________．
4
13
解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过
44―→1―→―→3―→
点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则AN＝AC，AM＝AB，
44经计算得AN＝AM＝3，AD＝33.
答案：33
14．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD―→―→―→
上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________．
―→―→
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC. ―→―→
∵点E在线段CD上，∴DE＝λDC (0≤λ≤1)． ―→―→―→∵AE＝AD＋DE，
―→―→―→―→―→―→2μ―→又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，
λ∴
2μλ1
＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤， λ22
?1?即μ的取值范围是?0，?.
?2??1?答案：?0，? ?2?
―→―→―→
15．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB (m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若m＋n＝1， ―→―→―→则OP＝mOA＋(1－m)OB ―→―→―→＝OB＋m(OA－OB)， ―→―→―→―→∴OP－OB＝m(OA－OB)， ―→―→―→―→
即BP＝mBA，∴BP与BA共线． ―→―→
又∵BP与BA有公共点B， ∴A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线， ―→―→
则存在实数λ，使BP＝λBA， ―→―→―→―→∴OP－OB＝λ(OA－OB)． ―→―→―→又OP＝mOA＋nOB.
―→―→―→―→故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB， ―→―→
即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0. ―→―→
∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线，
??m－λ＝0，∴?
?n＋λ－1＝0，?
∴m＋n＝1.
【新课改】2024版高考数学一轮复习课时跟踪检测：平面向量的概念及线性运算(含解析)
