v1.0 可编辑可修改 课时跟踪检测(四十九) 空间向量的应用
(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．(2013·石家庄模拟)如图，已知三棱柱ABC -A1B1C1，侧面BCC1B1
⊥底面ABC.
(1)若M，N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；
(2)若三棱柱ABC -A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°，问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP⊥平面ACC1A1若存在，求C1P与PA1的比值，若不存在，说明理由．
2．(2014·浙江联考)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，
AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1.
(1)求证：平面DAF⊥平面CBF； (2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；
(3)当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°
3．(2014·福州质检)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD＝3，EF＝2，BE＝3，CF＝4.
(1)求证：EF⊥平面DCE；
(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°.
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第Ⅱ卷：提能增分卷
1．(2013·荆州模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝35，AD＝6，BD是对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB＝41.
(1)求证：PO⊥平面ABCE； (2)求二面角E-AP-B的余弦值．
2．(2014·武汉模拟)如图，在四棱锥S -ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝是棱
SB的中点．
(1)求证：AM∥平面SCD；
(2)求平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值；
(3)设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sin θ的最大值．
3．(2014·北京西城二模)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥2
v1.0 可编辑可修改 EB.
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
(3)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD若存在，求出；若不存在，请说明理由． EFEA
答 案
第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．解：(1)证明：连接AC1，BC1，则AC1∩A1C＝N，AN＝NC1，因为AM＝MB， 所以MN∥BC1. 又BC1?平面BCC1B1， 所以MN∥平面BCC1B1.
(2)作B1O⊥BC于O点，连接AO， 因为平面BCC1B1⊥底面ABC， 所以B1O⊥平面ABC，
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，3，0)，B(－1，0,0)，C(1,0,0)，
B1(0,0，3)．
由AA1＝CC1＝BB1，可求出
A1(1，3，3)，C1(2,0，3)，
设点P(x，y，z)，A1C1＝λA1P. 则P??1?λ＋1，3－3?
λ，3??
，
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