第十二章 无穷级数练习
1.判别下列级数的敛散性：
1sin;?2nn?1?1ln(1?);?nn?1?n!;?nnn?1??(n?1?2n?12n?1)3n?2
2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
n21]； ?(?1)[n?3nn?1?n?1n2cosn； ?n3n?1??(?1)n?1n?1?1。
n?lnn
3.求幂级数
?n?0?(x?1)nn?1的收敛区间。
n!nx当|x|?e时绝对收敛，当|x|?e时发散。 ?nnn?11n注：数列xn?(1?)单调增加，且limxn?e。
n??n4.证明级数
?xn?15.在区间(?1,1)内求幂级数 ? 的和函数。
nn?1?
6.求级数 。
1
1的和。 ?2n(n?1)2n?2?
7.设a1?2,an?1?11(an?) （n?1,2,L）证明 2an1）liman存在； 2）级数
n???(n?1?an?1)收敛。 an?1
?8.设an??40?tannxdx，
1(an?an?2)的值； ?n?1n?an2） 试证：对任意的常数??0，级数??收敛。
nn?11） 求
?1?n9.设正项数列{an}单调减少，且?(?1)an发散，试问???a?1??是否收敛？并说明理
n?1n?1?n???n由。
111?211?x?10.已知1?2?2?L?[参见教材246页]，计算?lndx。 358?0x1?x
。
2
无穷级数例题选解
1.判别下列级数的敛散性：
??1n!2n?12n?1ln(1?);;()???nnn?1n?1nn?13n?2?111解：1）?sin2?2，而?2收敛，
nnn?1n?1由比较审敛法知 ?sin2收敛。
nn?1?1112）?ln(1?)~(n??)，而?发散，
nnn?1n?1由比较审敛法的极限形式知 ?ln(1?)发散。
nn?11sin;?2nn?1??
un?1(n?1)!nn1?n?3） ??lim， ?lim??lim???n??un??(n?1)n?1n??n!e?n?1?n?n!???1，由比值审敛法知 ?n收敛。
n?1n4） ??limnn??n4?2n?1??2n?1?un?lim??， ???n??3n?29???3n?2??2n?121n?2n?1????1，由根值审敛法知 ???3n?2?n?1??n?1收敛。
2.判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？
??n21n2cosn1n?1]； ?(?1) ?(?1)[n?； 。 ?n33nn?lnnn?1n?1n?12?n?1n解：1）对于级数?(?1)， n3n?12?|un?1|1n?1n?，知级数?(?1)由??lim绝对收敛， nn??|u|33n?1nn21]条件收敛。 易知?(?1)条件收敛，故 ?(?1)[n?3nnn?1n?1?un?11n2n2cosnn2?，知级数?n收敛， |?n?un，由??lim2）|n??u33n3n?13n?n?11?n?1n2cosn故?绝对收敛。 n3n?1??1113）记un?，?un?，而?发散，故?un发散，
nn?lnnn?1nn?11令f(x)?x?lnx，f?(x)?1?，当x?1时，f?(x)?0，故f(x)在区间(1,??)内单
x? 3
第十二章无穷级数练习题含答案知识分享
