代数学引论(聂灵沼_丁石孙版)第一章习题答案(可编辑修改word版)

第一章代数基本概念

1. 如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群.

证明:

对任意 a,bG,由结合律我们可得到

(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b

再由已知条件以及消去律得到

ba=ab,

由此可见群 G 为交换群.

2. 如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1]

对任意 a,bG,

ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)

因此 G 为交换群. [方法 2]

对任意 a,bG,

=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab

a2b2=e=(ab)2,

由上一题的结论可知 G 为交换群.

3. 设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件:

(1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 a=c;

1

(3) 由 ac=bc 推出 a=b; 证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1]

设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中某一个数字,由(2)可知若 ij(I,j=1,2,…,n),有

akaiak aj aiakaj ak

再由乘法的封闭性可知

<1> <2>

G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan} <3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak} <4> 由<1>和<3>知对任意 atG, 存在 amG,使得

akam=at.

由<2>和<4>知对任意 atG, 存在 asG,使得

asak=at.

由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群.

下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法 2]

为了证明 G 在给定的乘法运算下成一群，只要证明 G 内存在幺元(单位元)，并且证明G 内每一个元素都可逆即可.

为了叙述方便可设 G={a1,a2,…,an}. (Ⅰ) 证明 G 内存在幺元.

<1> 存在 atG，使得 a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明); <2> 证明 a1at= ata1; 因为

2

a1(ata1)at=(a1at) (a1at)=(a1)2

a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)= (a1)2,

故此

a1(ata1)at= a1(a1at)at.

由条件(1),(2)可得到

<3> 证明 at 就是 G 的幺元;对任意 akG,

a1at= ata1.

a1(atak) =(a1at)ak=a1ak

由条件(2)可知

atak=ak.

类似可证

akat=ak.

因此 at 就是 G 的幺元. (Ⅱ) 证明 G 内任意元素都可逆；

上面我们已经证明 G 内存在幺元，可以记幺元为 e，为了方便可用 a,b,c,…等符号记G 内元素.下面证明任意 aG，存在 bG，使得

ab=ba=e.

<1> 对任意 aG，存在 bG，使得

ab=e;

(这一点很容易证明这里略过.)

<2> 证 明 ba=ab=e; 因为

a(ab)b=aeb=ab=e

3

a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e

再由条件(2),(3)知

ba=ab.

因此 G 内任意元素都可逆.

由(Ⅰ),(Ⅱ)及条件(1)可知 G 在该乘法下成一群.

4. 设 G 是非空集合并在 G 内定义一个乘法 ab.证明:如果乘法满足结合律,并且对于任一

对

元素 a,bG,下列方程

ax=b 和 ya=b

分别在 G 内恒有解，则 G 在该乘法下成一群. 证明：

取一元 aG,因 xa=a 在 G 内有解, 记一个解为 ea ,下面证明 ea 为 G 内的左幺元. 对任 意

bG, ax=b 在 G 内有解, 记一个解为 c,那么有 ac=b ,所以

eab= ea(ac)= (eaa)c=ac=b,

因此 ea 为 G 内的左幺元.

再者对任意 dG, xd=ea 在 G 内有解,即 G 内任意元素对 ea 存在左逆元, 又因乘法满足结合律,故此 G 在该乘法下成一群.

[总结]

群有几种等价的定义:

(1) 幺半群的每一个元素都可逆，则称该半群为群.

(2) 设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且 G 内包含幺

4

元, G 内任意元素都有逆元,则称 G 为该运算下的群.

(3) 设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且 G 内包含左

幺元, G 内任意元素对左幺元都有左逆元,则称 G 为该运算下的群.

(4) 设 G 是一个非空集合，G 内定义一个代数运算，该运算满足结合律, 并且对于任一对

元素 a,bG,下列方程

ax=b 和 ya=b

分别在 G 内恒有解，则称 G 为该运算下的群.

值得注意的是如果一个有限半群满足左右消去律, 则该半群一定是群.

5. 在 S3 中找出两个元素 x,y,适合

(xy)2x2y2.

[思路] 在一个群 G 中，x,yG, xy=yx (xy)2x2y2(这一点很容易证明).因此只要找到 S3 中两个不可交换的元素即可. 我们应该在相交的轮换中间考虑找到这样的元素. 解 : 取

x=, y=

那么

(xy)2= x2y2.

[注意]

我们可以通过 mathematica 软件编写 Sn 的群表,输出程序如下:

Pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)

(Table[a[[b[[i]]]],{I,1,n}]);

Se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*)

(Permutations[Table[i,{I,1,n}]]);

Stable[n_]:=(*生成 Sn 群表*)

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