绝对值基础知识讲解

绝对值(基础)

【学习目标】

1掌握一个数的绝对值的求法和性质；

2. 进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义； 3. 会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小; 4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题

【要点梳理】

.

要点一、绝对值 1.定义：

般地，数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做数 a的绝对值，记作|a|.

要点诠释:

(1)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数; 是0 .即对于任何有理数 a都有: (2)绝对值的几何意义：一个数的 离，离原点的距离越远，绝对值越

0的绝对值

|a| 才 0

(a 0)绝对值就是表示这个数的点到原点的距 (a= 0) 大；离原点的距离越近，绝对值越小.

0.

(3) —个有理数是由符号和

2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或 要点二、有理数的大小比较

1. 数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小 所示，则av b. 2. 法则比较法：

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下: 两数同号 两数异号 —数为0 -a (a ：. 0)绝对值两个方面来确定的.

.女口： a与b在数轴上的位置如图

同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 正数大于负数 正数与0:正数大于0 负数与0:负数小于0 要点诠释：

禾U用绝对值比较两个负数的大小的步骤： (1)分别计算两数的绝对值；(2)比较绝对值的大小；(3) 判定两数的大小.

3. 作差法：设a、b为任意数，若 a-b>0，则a>b;若a-b = 0，则a= b;若a-bv 0，av b;反之成立.

a

4. 求商法：设a、b为任意正数，若

a a

1，则a b ；若 1，则a二b ；若 1，则a ：：： b ；反之 b b b

也成立?若a、b为任意负数，则与上述结论相反.

5.倒数比较法： 如果两个数都大于 0，那么倒数大的反而小

【典型例题】 类型一、绝对值的概念

1.求下列各数的绝对值.

1 1 -1 — , - 0. 3, 0, - -3 — 2 2

1

（ 1 \\

【思路点拨】1丄，-0.3 , 0, _| _3- 在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的

2 I 2丿 绝对值.还可以用绝对值法则来求解.

【答案与解析】 解法一：因为-11到原点距离是1-个单位长度，所以

2 2

因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以 卜

0. 3| = 0.3.

因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|= 0. 因为一 一3丄 到原点的距离是31个单位长度，所以

I 2丿 2 因为-0. 3V 0,所以卜 0. 3| = -（- 0. 3） = 0. 3.

11—1 ￡0，所以-1 解法二：因为

2 一

一 .

1 =1

2

因为0的绝对值是它本身，所以I 0| = 0. 因为- -3丄

I 2丿

0，所以

【总结升华】 求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解 根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是 对值.

▼ 2 .已知一个数的绝对值等于2009,则这个数是 _________________ . 【答案】2009或-2009

【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是 得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动

（如方法1），一种是利

0.从而求出该数的绝

用绝对值的代数意义求解（如方法2），后种方法的具体做法为： 首先判断这个数是正数、 负数还是0.再

2009的点有两个，从原点向左侧移动 2009个单位长度，

2009个单位长度，得到表示数 2009的点.

【总结升华】 已知绝对值求原数的方法：（1）利用概念；（2）利用数形结合法在数轴上表示出来.无论哪 种方法都要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数 举一反三:

【变式1】求绝对值不大于 3的所有整数.

【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3. 【高清课堂：绝对值比大小

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典型例题3】

【变式2】如果| X |= 2,那么X = __________ ；如果X |= 2,那么X= _____________

如果| x — 2 | = 1，那么x = _________________ ;如果| x |> 3,那么x的范围

【答案】 2或-2 ； 2或-2 ； 1或3； x>3或XV-3

【变式3】数轴上的点 A到原点的距离是 6,则点A表示的数为 _____________ . 【答案】6或-6

类型二、比较大小

C 3.比较下列有理数大小：(1)-1和0 ;

(2)-2和卜3|

; (3)丄和一丄；(4 )

I 3丿 2

--1 _____ - -0.1

【答案】(1)0大于负数，即-1 v 0;

(2)先化简卜3| = 3，负数小于正数，所以-2v 3,即-2v |- 3| ; (3)先化简- -1

1

I 3丿3 3

(4)先化简 ----- 1 -1,

--0.1 = -0.1，这是两个负数比较大小：因为

_1 =1 , —0.1 =0.1，而

1 0.1,

所以—1 V—0.1，即—-1 v — -0.1

【解析】(2)、(3)、(4)先化简，再运用有理数大小比较法则.

【点评】在比较两个负数的大小时， 可按下列步骤进行： 先求两个负数的绝对值， 再比较两个绝对值的 大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断. 举一反三：

【高清课堂：绝对值比大小 【变式1】比大小：

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典型例题2】

5 —3— 6 6 —3—

7

; -1-3.21 -(+3.2) ; 0.0001 —1000;

-1.38 _____ — 1.384 ; — n ____ — 3.14 .

【答案】>；=;>;>;<

【变式2】(山东临沂)下列各数中，比一

1小的数是(