……………………15分钟 30分
1.(5分)物体A以速度v=3t2+1(m/s)在一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5 m处,同时以v=10t(m/s)的速度与A同向运动,出发后物体A追上物体B所用的时间t(s)为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C.因为物体A在t秒内行驶的路程为 (3t2+1)dt,物体B在t秒内行驶的路程为所以
(3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2)
10tdt,
=t3+t-5t2=5
?(t-5)(t2+1)=0,即t=5.
2.(5分)由曲线y=x2,y2=x所围成图形的面积为 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选A.联立方程组
,
解得
或
,
即交点坐标为(0,0),(1,1),则两曲线所围成图形的面积为 S=2
(x-x2)dx=2
=.
3.(5分)若(a-x2)dx=,则a=________.
【解析】由a=1. 答案:1
(a-x2)dx==-=,解得
4.(5分)如图所示,已知抛物线拱形的底边弦长为a,拱高为b,其面积为________.
【解析】建立如图所示的坐标系,得抛物线的方程为y=-x2,所以曲线S=
与
x
轴
围=
成
的
部=
分
的
面
积
为
,所以阴影部分的面积为
ab-=.
答案:ab
5.(10分)已知二次函数f(x)=ax2+bx的图象与直线y=2x+1相切于点A(1,f(1)).
(1)求函数y=f(x)的解析式.
(2)求由y=f(x)、直线y=2x+1及直线x=4所围成的封闭区域的面积. 【解析】(1)由f(x)=ax2+bx得f′(x)=2ax+b,
因为二次函数f(x)=ax2+bx的图象与直线y=2x+1相切于点A(1,f(1)), 所以
,即
,解得
,
因此f(x)=-x2+4x.
(2)作函数y=f(x)的图象、直线y=2x+1及直线x=4的图象如下:
则由y=f(x)、直线y=2x+1及直线x=4所围成的封闭区域的面积为: S=
[(2x+1)-(-x2+4x)]dx=
(x2-2x+1)dx=
=9.
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