第二十讲 三角函数的图象
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
?π5π?1．(2010·天津)下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间?－，?上的图象，为
6??6
了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )
π1
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
32π
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3π1
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
62π
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
62π?π?解析：观察图象可知，函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＝1，＝π，故ω＝2，ω×?－?ω?6?π?ππ?＋φ＝0，得φ＝，所以函数y＝sin?2x＋?，故只要把y＝sinx的图象向左平移个单位，3?33?1
再把各点的横坐标缩短到原来的即可．
2
答案：A
π?π???2．(2010·全国Ⅱ)为了得到函数y＝sin?2x－?的图象，只需把函数y＝sin?2x＋?的3?6???图象( )
π
A．向左平移个长度单位
4π
B．向右平移个长度单位
4π
C．向左平移个长度单位
2π
D．向右平移个长度单位
2
π?x→x＋φπ?π?π???解析：由y＝sin?2x＋?――→y＝sin?2(x＋φ)＋?＝sin?2x－?，即2x＋2φ＋6?6?3?6???πππ
＝2x－，解得φ＝－，即向右平移个长度单位．故选B.
344
答案：B
π??3．(2010·重庆)已知函数y＝sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|
2??( )
π
A．ω＝1，φ＝
6π
C．ω＝2，φ＝
6解析：依题意得T＝以
π
B．ω＝1，φ＝－
6
π
D．ω＝2，φ＝－
6
2ππ?7ππ??π?＝4?－?＝π，ω＝2，sin?2×＋φ?＝1.又|φ|<，所
3ω2?123???
2πππ
＋φ＝，φ＝－，选D. 326答案：D
4．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如图所示，那么ω＝
( )
A．1 B．2 1
C. 2
1D. 3
2π
解析：由函数的图象可知该函数的周期为π，所以＝π，解得ω＝2.
ω答案：B
?π??π?5．已知函数y＝sin?x－?cos?x－?，则下列判断正确的是( ) ?12??12??π?A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是?，0? ?12?
B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是?
?π，0?
??12?
?π?C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是?，0? ?6?
D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是?π??π??π?1?解析：∵y＝sin?x－?·cos?x－?＝sin?2x－?，
6??12??12?2?2ππ
∴T＝＝π，且当x＝时，y＝0.
212答案：B
6．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－A.2 B．－2 C．1 D．－1
π
分析：函数f(x)在x＝－时取得最值；或考虑有
8
π
对称，则实数a的值为( ) 8
?π，0?
??6?
????f?－＋x?＝f?－－x?对一切x∈R恒成立．
?
?
π
解析：解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－对称，所以8
π?8π?8
????f?－＋x?＝f?－－x?对一切实数x都成立，
88?
?
?
?
?π??π?即sin2?－＋x?＋acos2?－＋x?
?8??8??π??π?＝sin2?－－x?＋acos2?－－x? ?8??8??π??π?即sin?－＋2x?＋sin?＋2x? ?4??4?
＝a?cos?
ππ
??
?π＋2x?－cos?－π＋2x??，
??4???4????
ππ
∴2sin2x·cos＝－2asin2x·sin，
44
即(a＋1)·sin2x＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为0，
∴a＋1＝0，即a＝－1，故选D.
π
解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－对称．
8
?π??π?∴有f?－＋x?＝f?－－x?对一切x∈R恒成立． ?8??8?
π
特别，对于x＝应该成立．
8
π?π?将x＝代入上式，得f(0)＝f?－?， 8?4?
?π??π?∴sin0＋acos0＝sin?－?＋acos?－?
?2??2?
∴0＋a＝－1＋a×0. ∴a＝－1.故选D.
解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋asin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其π
图象的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
2
即x＝令
2kππφ2
＋－(k∈Z)． 42
kππφπ
＋－＝－(k∈Z)． 2428
3π
得φ＝kπ＋(k∈Z)．
4
π
但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－角的终边相同，∴a＝－
21.
解法四：y＝sin2x＋acos2x＝1＋asin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)π
的对称轴为y＝－，
8
π
∴当x＝－时函数y＝f(x)有最大值或最小值，
8
2?π??π?22
所以1＋a＝f?－?或－1＋a＝f?－?，
?8??8??π??π?2
即1＋a＝sin?－?＋acos?－?，
?4??4??π??π?2
或－1＋a＝sin?－?＋acos?－?.
?4??4?
解之得a＝－1.故选D. 答案：D
评析：本题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线x＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利用
π
(k∈Z)的解x＝2
kπ＋－φω函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程ωx＋φ＝kπ＋
π2
π
(k∈Z)，然后将x＝－代入求出相应的φ值，再求a的值．解法四利用对称轴的特殊性质，
8
?π??π?在此处函数f(x)取最大值或最小值．于是有f?－?＝[f(x)]max或f?－?＝[f(x)]min.从而转?8??8?
化为解方程问题，体现了方程思想．由此可见，本题体现了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出其实质东西．
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) π??7．(2010·福建)已知函数f(x)＝3sin?ωx－?(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图
6??
?π?象的对称轴完全相同．若x∈?0，?，则f(x)的取值范围是________．
2??
解析：∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω>0，π?π?πππ5π1??∴ω＝2，∴f(x)＝3sin?2x－?，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin?2x－?6?6?26662??π?3??3?≤1，∴－≤3sin?2x－?≤3，即f(x)的取值范围为?－，3?.
6?2??2?
?3?答案：?－，3?
?2?
1
8．设函数y＝cosπx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左依次为A1，A2，…，An，….
2则A50的坐标是________．
解析：对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得． 答案：(99,0)
?π?9．把函数y＝cos?x＋?的图象向左平移m个单位(m>0)，所得图象关于y轴对称，则m3??
的最小值是________．
πππ
解析：由y＝cos(x＋＋m)的图象关于y轴对称，所以＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－，3332
当k＝1时，m最小为π.
3
高考数学第一轮专题复习 第二十讲 三角函数的图象测试卷
