数学《集合与常用逻辑用语》高考复习知识点
一、选择题
1．已知集合M??xA．M=N
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：集合M表示能被20整除的正整数， 而集合N表示能被40整除的整数，
据此可得，集合N与集合M的公共元素为能被40整除的正整数， 即M?N??xx??x??x?Z?，则( ) ?N*且?N*?，集合N??x10??40??4B．N?M D．M?N??xC．M?N??x?x??Z??20??x??N*? ?40??x??N*?， ?40?本题选择D选项.
2．已知命题p：若x?y且y?z，则log1?x?y??log1?y?z?，则命题p的逆否命题
22及其真假分别为（ ）
A．若log1?x?y??log1?y?z?，则x?y且y?z，真
22B．若log1?x?y??log1?y?z?，则x?y或y?z，真
22C．若log1?x?y??log1?y?z?，则x?y且y?z，假
22D．若log1?x?y??log1?y?z?，则x?y或y?z，假
22【答案】D 【解析】 【分析】
先根据逆否命题的概念写出命题p的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】
命题p的逆否命题为“若log1?x?y??log1?y?z?，则x?y或y?z”；
22由于原命题为假（如x?4，y?3，z?1），故其逆否命题也为假， 故选：D.
【点睛】
本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．若平面?，?，?，满足???，???，则?//?；
2B．命题p：?x?R，1?x2?1，则?p：?x0?R，1?x0?1；
C．“命题p?q为真”是“命题p?q为真”的充分不必要条件；
D．命题“若?x?1?e?1?0，则x?0”的逆否命题为：“若x?0，则?x?1?e?1?0”.
xx【答案】D 【解析】 【分析】
根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D. 【详解】
若平面?，?，?，满足???，???，则?,?可能相交，故A错误； 命题“p：?x?R，1?x2?1”的否定为?p：?x0?R，1?x0?1，故B错误；
2p?q为真，说明p,q至少一个为真命题，则不能推出p?q为真；p?q为真，说明p,q都为真命题，则p?q为真，所以“命题p?q为真”是“命题p?q为真”的必要不充分条件，故C错误；
命题“若?x?1?e?1?0，则x?0”的逆否命题为：“若x?0，则?x?1?e?1?0”，故
xxD正确； 故选D 【点睛】
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
4．下列命题为真命题的个数是（ ） ①?x?xx是无理数}，x2是无理数； ②若a?b?0，则a?0或b?0；
③命题“若x2?y2?0，x?R，y?R，则x?y?0”的逆否命题为真命题；
rr?rrrrex?e?x④函数f?x??是偶函数.
xA．1 【答案】B 【解析】 【分析】
B．2
C．3
D．4
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于①中，当x?2时，x2?2为有理数，故①错误；
rrrrrrrr对于②中，若a?b?0，可以有a?b，不一定要a?0或b?0，故②错误；
22对于③中，命题“若x?y?0，x?R，y?R，则x?y?0”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
e?x?exex?e?x对于④中，f??x????f?x?，
?xx且函数的定义域是(??,0)U(0,??)，定义域关于原点对称， ex?e?x所以函数f?x??是偶函数，故④正确.
x综上，真命题的个数是2. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
5．已知下列四个命题
P1：若直线l和平面?内的无数条直线垂直，则l??； P2：若f(x)?ex?e?x，则?x?R,f(?x)??f(x)
P3：若f(x)?x?1则?x0?(0,??),f?x0??1 x?1P4：在VABC中，若A?B，则sinA?sinB
其中真命题的个数是（ ） A．1 【答案】B 【解析】 【分析】
根据线面垂直关系判断P1错误；根据函数奇偶性判定P2正确，利用基本不等式性质判断
B．2
C．3
D．4
P3不正确，结合三角形边角关系判定P4正确.
【详解】
解：P1：若直线l和平面?内的无数条直线垂直，则l??不一定成立，必须是任意直线；故命题P1错误，
P2：若f(x)?ex?e?x，则f(?x)?e?x?ex??f(x)，即?x?R,f(?x)??f(x)成
立；命题正确，
P3：当x??1时，f(x)?x?当且仅当x?1?111?x?1??1…2(x?1)??1?2?1?1， x?1x?1x?112，即(x?1)?1，得x?0时取等号，则?x0?(0,??),f?x0??1不x?1成立，故命题为假命题，
P4：在VABC中，若A?B，则a?b，由正弦定理得sinA?sinB，即命题为真命题.
则正确的命题的个数是2， 故选：B. 【点睛】
此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.
6．已知实数a?0，b?0，则“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
x构造函数f(x)?e?2x(x?0),利用函数f(x)的单调性和充分与必要条件的定义判断即
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
可. 【详解】
ea?2b?eb?2a?ea?2a?eb?2b，
xx令f(x)?e?2x(x?0)，则f?(x)?e?2，
令f?(x)?0，解得x?ln2，
?x?为R上的增函数,
''所以当x??0,ln2?时,f?x??0;当x??ln2,???时,f?x??0,
因为f'故f(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,??)上单调递增， 所以当a?b?1时，f(a)?f(b)，即ea?2a?eb?2b, 即“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的充分条件；
但当0?a?b?ln2时，有f(a)?f(b),即ea?2a?eb?2b, 所以当ea?2b?eb?2a时,可得a?b?1或0?a?b?ln2， 故“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的不必要条件.
综上可知“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】
x本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数f(x)?e?2x(x?0),利用函数的单调性
进行判断;属于中档题.
7．“a?0”是“函数y?ex?a为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 条件 【答案】C 【解析】
x?a|x|解析：若a?0，则y?e是偶函数，“a?0”是“函数y?e为偶函数”的充分条件；若
B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
函数y?ex?ax?a为偶函数，则对称轴为x?0，即x?a?0，则“a?0”是“函数y?e为
偶函数”的必要条件，应选答案C．
8．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
2①命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，均有x2?x?1?0”；
②若正整数m和n满足m?n，则m?n?m??n； 2③在?ABC中 ，A?B是sinA?sinB的充要条件；
④一条光线经过点P?1,3?，射在直线l:x?y?1?0上，反射后穿过点Q?1,1?，则入射光线所在直线的方程为5x?3y?4?0；
⑤已知f(x)?x3?mx2?nx?k的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m?n?k为定值. A．2 【答案】C 【解析】 【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
2①，命题“?x0?R，使得x0?x0?1?0”的否定是“?x?R，均有x2?x?1?0”，故①
B．3 C．4 D．5
错误.
②，由于正整数m和n满足m?n，n?m?0，由基本不等式得
m?n?m??m?n?mn?，当m?n?m即n?2m时等号成立，故②正确. 22③，在?ABC中，由正弦定理得A?B?a?b?sinA?sinB，即
A?B?sinA?sinB，所以A?B是sinA?sinB的充要条件，故③正确.
④，设Q?1,1?关于直线x?y?1?0的对称点为A?a,b?，则线段AQ中点为
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