高数知识点总结（上册） 函数：
绝对值得性质：
(1)|a+b|?|a|+|b|
(2)|a-b|?|a|-|b|
(3)|ab|=|a||b|
a|a|(b?0)(4)|b|=|b|
函数的表示方法：
（1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数：
定理：如果函数y?f(x)在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数y?f?1(x)存在，且是单
值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （3）对数函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限：
定义：设
（2）指数函数 （4）三角函数
?xn?是一个数列，a是一个定数。如果对于任意给定的正数?（不管它多么小）
，
xn总存在正整数N，使得对于n>N的一切，不等式
?axn?a??xn?a都成立，则称数a是数列
?xn?的
limxn?xn?极限，或称数列收敛于a，记做n??，或
（n??）
收敛数列的有界性：
定理：如果数列
?xn?收敛，则数列?xn?一定有界
推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛
函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质：
limf(x)?Axx?x0 （1）同号性定理：如果，而且A>0(或A<0),则必存在0的某一邻域，当x在该邻域内（点
x0可除外），有f(x)?0（或f(x)?0）。
，且在
x0（2）如果
x?x0limf(x)?A的某一邻域内（
x?x0），恒有f(x)?0（或f(x)?0），
则A?0（A?0）。
（3）如果
x?x0limf(x)limf(x)存在，则极限值是唯一的
x?x0x （4）如果存在，则在f(x)在点0的某一邻域内（）是有界的。 无穷小与无穷大： 注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小
x?x0f(x)??的唯一的常数，因为如果f(x)?0则对任给的??0，总有，即常数零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。 无穷小与无穷大之间的关系：
1（1）如果函数f(x)为无穷大，则f(x)为无穷小
1（2）如果函数f(x)为无穷小，且f(x)?0，则f(x)为无穷大
具有极限的函数与无穷小的关系： （1）具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和
（2）如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质： 定理： （1）有限个无穷小的代数和也是无穷小
（2）有界函数f(x)与无穷小a的乘积是无穷小
推论： （1）常数与无穷小的乘积是无穷小 （2）有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则：
定理：两个函数f(x)、g(x)的代数和的极限等于它们的极限的代数和
两个函数f(x)、g(x)乘积的极限等于它们的极限的乘积
极限存在准则与两个重要极限： 准则一（夹挤定理）
x?x0x设函数f(x)、g(x)、h(x)在的某个邻域内（点0可除外）满足条件：
（1）g(x)?f(x)?h(x) （2）
x?x0x?x0limg(x)?A，
x?x0limh(x)?A
则 准则二 单调有界数列必有极限 定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在
limf(x)?A
重要极限：
sinx?1x?0x（1）
lim
1?cosx1?2x?02 x（2）
lim11xlim(1?)?elim(1?x)x?ex（3）x??或x?0
无穷小阶的定义：
设?、?为同一过程的两个无穷小。
lim （1）如果
??0?，则称?是比?高阶的无穷小，记做??o(?) ????，则称?是比?低阶的无穷小
（2）如果
lim （3）如果
lim??c(c?0,c?1)?，则称?与?是同阶无穷小 ??1?，则称?与?是等阶无穷小，记做?~?
（4）如果
lim几种等价无穷小：
对数函数中常用的等价无穷小：
x?0时，ln(1?x)~x(x?0)
loga(1?x)~1x(x?0)lna
三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：
x?0时，sinx~x tanx~x
1?cosx~12x2 arcsinx~x arctanx~x
指数函数中常用的等价无穷小：
x?0时，ex?1~x ax?1?exlna?1~lna
xn
二项式中常用的等价无穷小：
x?0时，(1?x)?1~ax
an1?x?1~函数在某一点处连续的条件：
limf(x)?f(x0)xx?x0 由连续定义可知，函数f(x)在点0处连续必须同时满足下列三个条件：
x（1）f(x)在点0处有定义
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