自测题十二解答(2005) 一、在各题的下划线处填上正确的答案（每小题4分，共40分） 1．（-1，3）2．必要3．2x?12y?12z?2 4．0 5．D 6．D 7．0 ??20?28．（-1，1） 9．y2?1?C(1?x2) 10．y???2y??10y?0 二、解答下列各题（每小题6分，共30分） 1．解：??0对应点M0(2,0)，???/2对应点M1(0,1) x3原式=?d(?xy2) (2,0)332(0,1) =(x/3?xy)|(2,0)??8/3 (0,1)或 P(x,y)?x2?y2Q(x,y)?2xy??????????? 积分与路径无关，取M0O与OM1 原式=?P?Q??2y ?y?x?02x2dx?0??8/3 ?zey12．解：?f1?f2?x2 ?y2ey?1x?2zey1yeyyf?f11?(?)f12?3f22?2?2x ?y?x2ey?1x2x2ey?1xx23．解：除x??3,0外均为连续点，由Dirichlet定理 x?3?x?0??2?2x/30?x?3? ∴s(x)??1x?0??x??3??3/2 14．解：特征方程r?1?0，特征根r1?1r2??1 对应齐次方程通解为Y?C1e?C2e 设原方程特解为y*?Axex?B 代入解之得A?1/2x?x2B??1 *x?x1xxe?1 25．解：由对称性，所求面积是z?0部分?的2倍，在?上， aa222ds?dxdy，又?在面投影区域D:x?y? 2222a?x?y原方程通解为y?Y?y?C1e?C2e?∴S?2??ds?2a??2?0d??a/2rdra2?r20?2(2?2)?a2 三、解答下列各题（每小题8分，共16分） 1．解：由对称性，所求体积是第一卦限部分8倍 V?8?dx?0aa?x0dy?a2?x20dz ?8?(a?x)a2?x2dx0a?8a3??/20 (1?sint)costdt(x2?y2?1) 2?a3(2??8/3) 2．解：由题意知，?:z?1?x2?y2作?1:z?0则原式=???1(x2?y2?1)，取下侧 2???(y?z)dzdx?zdxdy???(y?z2)dzdx?zdxdy ?1又??(y?z2)dzdx?zdxdy?0 ?1所以原式=???12(y?z)dzdx?zdxdy????(1?1)dv?? ???? 2四、解答下列各题（每小题7分，共14分） 1．解： x2y2x2?0?2?2y2?y2?limf(x,y)?0?f(0,0) 22x?yx?yx?0y?0所以函数在点O(0,0)处连续 f(?x,0)?f(0,0)f(0,?y)?f(0,0)?0?fx?(0,0)lim?0?fy?(0,0)， ?x?0?y?0?x?y所以函数在点O(0,0)处的偏导数存在 又liman?11(n?1)2?1?lim?0， 2．解：??limn??an??2(n2?1)(n?1)n所以R???，收敛区间(??,??) n2?1n?n(n?1)?n?1xns(x)??nx??() n!2n?02n!n?0x2?1xnx?1xn?1xn?()?()??()??()2n?0n!22n?0n!2n?0n!2??(xx??1)ex/2422 自测题十三解答(2006) 一、在各题的下划线处填上正确的答案（每小题3分，共36分） 1．A 2．B 3．C 4．4π 5．B 6．I??d??rdr?f(rcos?,rsin?,z)dz 7． B. 0012?12112118．(?,) 9． an? 10． ??(x2?x)? 11．D 12．D 33n(n?1)y2二、解答下列各题（每小题6分，共30分） 1．解：曲线L的方程为x?y?1 所以?2．解：对函数f(x)进行奇延拓，有 bn?dx?dy??dx?dy???(0?0)dxdy?0 Lx?yLD??2?0f(x)sinnxdx?2???02?xcosnxsinnx?2?2??(?1)n?1 xsinnxdx ?????nn?0n??2得f(x)的正弦级数为f(x)~?(?1)n?1sinnx nn?1xn3．解：收敛域为[-1,1) 令s(x)??， 当x＝0时，s(x)＝1 n?1n?0?1xdx11?xn?11?xn1x?n??ln(1?x) ???xdx???xdx ??当x≠0时，s(x)??x01?xxxn?0n?1xn?00x0n?04．解：原方程变形得y??11y?cosx xx11p(x)?,q(x)?cosx xx ?p(x)dx?lnx,??q(x)e3p(x)dxdx?sinx ?p(x)dxp(x)dx1(?q(x)e?dx?C)?(sinx?C) 所以通解为y?e?x?zyyy?2zyy?zy??2f??() 5．解：?f()?f?()，?f?()，?xxxx?y?xxx?yx三、解答下列各题（每小题10分，共20分） 1．解：上半球面方程为z?a2?x2?y2，zx??xa?x?y222,zy??ya?x?y222 Σ在xoy面的投影区域为Dxy:x2?y2?ax 2dxdy?2?d?? 则S???ds?2??1?zx2?zy??/20?Dxy?/2acos?aa2?r2rdr?2a2(??2) 2．解：增加曲面?1:z?0(x2?y2?a2)，方向取上侧；?2:z?h(x2?y2?a2)，方向取下侧 则???1??2构成一封闭曲面，方向为内侧 由高斯公式得???1??2??xdydz?zdxdy?????(1?1)dxdydz??2?a2h ?又??xdydz?zdxdy?0,?1??xdydz?zdxdy???ah ?2?22所以原式????1??2???????????a2h ?1四、解答下列各题（每小题7分，共14分） 1.解：设(x0,y0,z0)为椭球面在第一卦限部分上的点，则切平面为4x0x?y0y?z0z?4，所研究立体的体积V?8?V0，V0为椭球体4x2?y2?z2?4在第一卦限部分体积，为常数， 3x0y0z0故只需求x0y0z0的最大值 令F(x,y,z)?xyz??(4x2?y2?z2?4) ?Fx?yz?8?x?0?F?xz?2?y?0122?y 解得 x?,y?,z?, ?333?Fz?xy?2?z?0222??4x?y?z?4?122?由于最小值存在，故点?,,?即为所求。 ?333??|an|?an|an|?an,qn?2．证明：因为pn?，?an绝对收敛， 22n?1故?pn和?qn均收敛， n?1n?1??又pn?qn?an，所以?an??pn??qn n?1n?1n?1??? 4二00七级 一、在各题的下划线处填上正确的答案（每小题3分，共30分） 1．C 2．B 3．A 4．条件收敛 5． 0 6．4a 7． 1/3. 8．D 9． C 10． B 二、解答下列各题（每小题8分，共40分） 1．解：令F(x,y,z)?x2?y2?z2?50,G(x,y,z)?x2?y2?z2 Fx?2x,Fy?2y,Fz?2z,(Fx,Fy,Fz)|M0?(6,8,10) Gx?2x,Gy?2y,Gz??2z,(Gx,Gy,Gz)|M0?(6,8,?10) M0(3,4,5)处的切向量可取为(3,4,5)?(3,4,?5)?(?40,30,0) M0(3,4,5)处的切线方程为x?3y?4z?5?? ?430?4x?3y?0 x2法平面方程为?4(x?3)?3(y?4)?0即4x?3y?0or1122．解：原式?2?dx?y?xdy?2(?dx?2(y?x)dy??dx?(x2?y)dy) 0011210x00??(1?2x2?x4)dx??x4dx＝11/15 00113．解：原式?1xdy?ydx P??yQ?x12?L?P?Q??1?1， ?y?x设L围成的区域为D，由格林公式得 ?Lxdy?ydx???(D?Q?P3?)dxdy?2??dxdy?2SD ,所以，原式＝? ?x?y3D(?1?x?1) ?14．解：因为??xn1?xn?0f(x)?11111?? 2x?7x?1231?x/341?x/4nn1??x?1??x?所以f(x)????????3n?0?3?4n?0?4?1??1???n?1?n?1?xn4?n?0?3?(?3?x?3) (?3?x?3) 5．解：?u?f1??0?f2??(?1)?f3??1??f2??f3?， ?x?u?f1??1?f2??0?f3??(?1)?f1??f3? ?y 5
高等数学下册2005-2015各届试题解答 - 图文
