人教版高中数学必修五
知识点梳理
重点题型(常考知识点)巩固练习【巩固练习】
正弦定理
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究,发现正弦定理,初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律;
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题; (1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而求出其它边角). 【要点梳理】
要点一、学过的三角形知识 1.?ABC中
(1)一般约定:?ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c; (2)A?B?C?180;
(3)大边对大角,大角对大边,即B?C?b?c; 等边对等角,等角对等边,即B?C?b?c;
(4)两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,即a?c?b,a?c?b. 2.Rt?ABC中,?C?90, (1)B?A?90, (2)a?b?c (3)sinA?222000ab,sinB?,sinC?1; ccbacosA?,cosB?,cosC?0
cc要点二、正弦定理及其证明
正弦定理:在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等,即:直角三角形中的正弦定理的推导
abc ??sinAsinBsinCab, sinB?, sinC?1, ccabc即:c?,c?,c?,
sinAsinBsinCabc∴. ??sinAsinBsinC证明:sinA?斜三角形中的正弦定理的推导 证明: 法一:向量法
(1)当?ABC为锐角三角形时
过A作单位向量j垂直于AC,则AC+CB=AB 两边同乘以单位向量j,得j?(AC+CB)=j?AB, 即j?AC?j?CB?j?AB
0∴|j|?|AC|cos90?|j|?|CB|cos(90?C)?|j|?|AB|cos(90?A),
∵j?AC?0,|j|?1,|CB|?a,|AB|?c,cos(90?C)?sinC,cos(90?A)?sinA
ac, ?sinAsinCbc同理:若过C作j垂直于CB得: ?sinBsinCabc ∴, ??sinAsinBsinC∴asinC?csinA, ∴(2)当?ABC为钝角三角形时
设?A?90,过A作单位向量j垂直于向量AC, 同样可证得:
法二:圆转化法
abc??. sinAsinBsinC
(1)当?ABC为锐角三角形时
如图,圆O是?ABC的外接圆,直径为AD?2R,则?C??D,
∴sinC?sinD?∴2R?c, 2Rc(R为?ABC的外接圆半径) sinCab同理:2R?,2R?
sinAsinBabc故:???2R
sinAsinBsinC(2)当?ABC为钝角三角形时
如图,sinA?sinE?sinF?法三:面积法
任意斜?ABC中,如图作CH?AB,则CH?ACsinA
a. 2R111AB?CH?AB?ACsinA?bcsinA 22211同理:S?ABC?absinC,S?ABC?acsinB
22111故S?ABC?absinC?acsinB?bcsinA,
222S?ABC?两边同除以即得:
1
abc 2
abc ??sinAsinBsinC要点诠释:
(1)正弦定理适合于任何三角形; (2)可以证明
abc???2R(R为?ABC的外接圆半径); sinAsinBsinC(3)每个等式可视为一个方程:知三求一。 (4)利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 要点三、解三角形的概念