2024届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第四节三角函数的图象与性质学案理含解析.doc

第四节 三角函数的图象与性质

[最新考纲] 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点ππ－，?内的单调性. 等)，理解正切函数在区间??22?[考情分析] 三角函数的值域、单调性、奇偶性、周期性和对称性都将是2024年高考考查的热点，题型仍将是选择题与填空题，分值为5分.

‖知识梳理‖

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

π?

(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，??2，1?，(π，0)，1

1.数学运算 2.逻辑推理 3.直观想象 [核心素养] ?3π，－1?，(2π，0)． ?2?

π?

(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，??2，0?，2(π，－3π?1)，??2，0?，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 π 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 R [－1，1] 2π 3奇函数 R [－1，1] 2π 4偶函数 在[2kπ，2kπ＋](k∈Z)上减； {x|x∈R且 x≠kπ＋2，k∈Z﹜ R π 奇函数 ππkπ－，kπ＋? 在?22??ππ2kπ－，2kπ＋? 在?22?在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上增 ? (k∈Z)上增； π3π2kπ＋，2kπ＋? 在?22??(k∈Z)上减 对称中心 对称轴 5(kπ，0) (k∈Z) π6x＝kπ＋(k∈Z) 2(k∈Z)上增 ?kπ＋π，0?(k∈Z) 2??7x＝kπ(k∈Z) ?kπ，0?(k∈Z) ?2?无 ?常用结论 2π

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的

|ω|π

最小正周期为T＝.

|ω|

(2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把(ωx＋φ)看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解．

(3)函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．

ππ

kπ－，kπ＋?(k∈Z)(4)对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间?22??内为增函数．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( )

(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．( ) (3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( ) (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( ) (5)y＝sin|x|是偶函数．( ) (6)若sin x>

2π

，则x>.( ) 24

答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)× 二、走进教材

2．(必修4P46A2，3改编)若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则( ) A．T＝π，A＝1

B．T＝2π，A＝1

C．T＝π，A＝2 答案：A

D．T＝2π，A＝2

3π

2x－?的单调递减区间为________________． 3．(必修4P47B2改编)函数y＝－tan?4??kππkπ5π?

答案：??2＋8，2＋8?，k∈Z 三、易错自纠

1

－1，?，则b－a的值不可能是( ) 4．已知函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为?2??π

A．

3C．π

2πB．

34πD．

3

2π4π?

解析：选A 画出函数y＝sin x的草图分析知，b－a的取值范围为??3，3?.

π

－2x?的单调递减区间为____________． 5．函数y＝sin??3?

πππ

－2x?＝－sin?2x－?的单调递减区间是函数y＝sin?2x－?的单调递增解析：函数y＝sin?3?3??3???区间．

πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

232π5π

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

1212

π5π

故所给函数的单调递减区间为kπ－，kπ＋，k∈Z.

1212π5π

kπ－，kπ＋?，k∈Z 答案：?1212??

π

x－?的图象的对称轴为____________，对称中心为____________． 6．函数y＝sin??4?ππ3π

解析：由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z；

424ππ

由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，

44

ππ3π

x－?的图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，对称中心为?＋kπ，0?，k∈Z. 故函数y＝sin??4??4?4