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【详解】由题意可知，f(?1)?0
f?(x)?dydx1dx?1?ex???dxdydy1?ex?y?0dxdy?x??111?e?1.
?6
11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为r?cos3?(??围平面图形的面积是 . 【答案】?
126???)，则L所
【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积 【难易度】★★ 【详解】面
1621?cos6?1sin6?6?266S???r(?)d???cos3?d???d??(??)? 002?6226120????积
??x?arctant,12、曲线?2??y?ln1?t上对应于t?1点处的法线方程为 .
?0
【答案】y?x?ln2??4【考点】由参数方程所确定的函数的导数
【难易度】★★★
?1?(1?t2)2?2t22dydydy/dt1?t?1 ??t，故【详解】由题意可知，?1dxt?1dxdx/dt1?t2曲线对应于t?1点处的法线斜率为k??1??1.
111当t?1时，x??，y?ln2.
4法线方程为y?ln2??(x??)，即y?x?ln2??44?0.
13、已知y1?e3x?xe2x，y2?ex?xe2x，y3??xe2x是某二阶常系数非齐次
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线性微分方程的3个解，则该方程满足条件yx?0?0，y?x?0?1的解为y? .
【答案】y?e3x?ex?xe2x
【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★
【详解】y1?y2?e3x?ex，y2?y3?ex是对应齐次微分方程的解. 由分析知，y*??xe2x是非齐次微分方程的特解.
故原方程的通解为y?C1(e3x?ex)?C2ex?xe2x，C1,C2为任意常数. 由yx?0?0，y?x?0?1可得 C1?1，C2?0. 通解为y?e3x?ex?xe2x.
14、设A?(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若
aij?Aij?0(i,j?1,2,3)，则A? . 【答案】-1
【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★
【详解】aij?Aij?0?Aij??aij?A*??AT?AA*??AAT?AE 等式两边取行列式得?A2?A3?A?0或A??1 当A?0时，?AAT?0?A?0（与已知矛盾） 所以A??1.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位．．．置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）
当x?0时，1?cosx?cos2x?cos3x与axn为等价无穷小，求n和a的值. 【考点】等价无穷小；洛必达法则 【难易度】★★★
1?cosx?cos2x?cos3x【详解】lim?limnx?0x?0ax1?cos6x?cos4x?cos2x?14 nax专业资料--可修改
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3?cos6x?cos4x?cos2x6sin6x?4sin4x?2sin2x ?limx?0x?04axn4anxn?136cos6x?16cos4x?4cos2x?lim n?2x?04an(n?1)x?lim故n?2?0，即n?2时，上式极限存在. 当n?2时，由题意得
lim1?cosx?cos2x?cos3x36cos6x?16cos4x?4cos2x36?16?4??lim??1 nx?0x?0ax8a8a?a?7
?n?2,a?7
16、（本题满分10分）
Vx，设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所围成的平面图形，Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值.
【考点】旋转体的体积 【难易度】★★
5353【详解】根据题意，Vx??0?(x)dx??x3??a3
550a132a13Vy??a076762?x?xdx??x3??a3.
77013a5673因Vy?10Vx，故?a3?10??a3?a?77. 75
17、（本题满分10分）
设平面区域D由直线x?3y，y?3x，x?y?8围成，求??x2dxdyD【考点】利用直角坐标计算二重积分 【难易度】★★
1??y?3x?x?2?x?6?y?x【详解】根据题意 ?， ??3????y?2?x?y?8?y?6?x?y?8?专业资料--可修改
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故??xdxdy??0dx?x2D23x3xdy??dx?x2268?x328132416xdy?x4?(x3?x4)??128?303333 2226
18、（本题满分10分）
设奇函数f(x)在[?1,1]上具有二阶导数，且f(1)?1，证明： （Ⅰ）存在??(0,1)，使得f?(?)?1；
（Ⅱ）存在??(?1,1)，使得f??(?)?f?(?)?1. 【考点】罗尔定理 【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）由于f(x)在[?1,1]上为奇函数，故f(0)?0 令F(x)?f(x)?x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1上)可导，且F(1?)f(?1)?1，F(0)?f(0)?0?0.由罗尔定理，存在??(0,1)，使得F?(?)?0，即f?(?)?1.
（Ⅱ）考虑f??(x)?f?(x)?1?ex(f??(x)?f?(x))?ex?(exf?(x))??ex ?[exf?(x)?ex]??0 令g(x)?exf?(x)?ex，由于f(x)是奇函数，所以f?(x)是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，f?(?)?f?(??)?1，?g(?)?g(??)?0.由罗尔定理可知，存在??(?1,1)，使得g?(?)?0，即f??(?)?f?(?)?1. 19、（本题满分10分）
求曲线x3?xy?y3?1(x?0,y?0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.
【考点】拉格朗日乘数法 【难易度】★★★
【详解】设M(x,y)为曲线上一点，该点到坐标原点的距离为d?x2?y2 构造拉格朗日函数 F?x2?y2??(x3?xy?y3?1)
?Fx??2x??(3x2?y)?0??x?12?由?Fy?2y??(3y?x)?0 得 ?
y?1??33??F??x?xy?y?1?0专业资料--可修改
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点(1,1)到原点的距离为d?12?12?2，然后考虑边界点，即(1,0)，
它们到原点的距离都是1.因此，曲线上点到坐标原点的最(0,1)，
长距离为2，最短距离为1. 20、（本题满分11分） 设函数f(x)?lnx?1
x（Ⅰ）求f(x)的最小值； （Ⅱ）设数列?xn?满足lnxn?1?1，证明limxn存在，并求此极限. n??xn?1【考点】函数的极值；单调有界准则
【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）由题意，f(x)?lnx?1，x?0?xf?(x)?11x?1??2 xx2x令f?(x)?0，得唯一驻点x?1
当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0.
所以x?1是f(x)的极小值点，即最小值点，最小值为f(1)?1. （Ⅱ）由（Ⅰ）知lnxn?即xn?1?xn
故数列?xn?单调递增. 又由lnxn?1?1，故lnxn?1?0?xn?e，所以数列?xn?有上界. xn?11111?1，又由已知lnxn??1，可知?xnxn?1xnxn?1，
所以limxn存在，设为A. n??11?1两边取极限得 lnA??1 xn?1A在lnxn?1?1两边取极限得 lnA?1?1
xnA所以lnA?1?1?A?1即limxn?1. n??A在lnxn? 21、（本题满分11分）
设曲线L的方程为y?1x2?1lnx(1?x?e)满足
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2013年考研数学二试题与答案
