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2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的
四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．1、设cosx?1?x?sin?(x)，?(x)??，当x?0时，?(x)（ ）
2（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小 （C）与x同阶但不等价的无穷小 （D）与x是等价无穷小 【答案】（C）
【考点】同阶无穷小 【难易度】★★
【详解】cosx?1?x?sin?(x)，cosx?1?1x2
2?x?sin?(x)11?x2，即sin?(x)?x 22?当x?0时，?(x)?0，sin?(x)?(x) 1??(x)?x，即?(x)与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）.
222、已知y?f(x)由方程cos(xy)?lny?x?1确定，则lim n[f()?1]?（ ）n??n（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2 【答案】（A）
【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★
【详解】当x?0时，y?1.
2f()?12f(2x)?1f(2x)?f(0)limn[f()?1]?limn?lim?2lim?2f?(0) n??n??x?0x?01nx2xn方程cos(xy)?lny?x?1两边同时对x求导，得
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?sin(xy)(y?xy?)?1?y??1?0 y将x?0，y?1代入计算，得 y?(0)?f?(0)?1
2所以，limn[f()?1]?2，选（A）. n??nx?sinx[0,?)，F(x)??0f(t)dt，则（ ） f(x)???2[?,2?]3、设
（A）x??为F(x)的跳跃间断点 （B）x??为F(x)的可去间断点
（C）F(x)在x??处连续不可导 （D）F(x)在x??处可导 【答案】（C）
【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】
F(??0)??sintdt??sintdt???sintdt?2，F(??0)?2，
0202????F(??0)?F(??0)，F(x)在x??处连续.
F??(?)?lim?x???x0f(t)dt??f(t)dt0?x???0，F??(?)?lim?x???x0f(t)dt??f(t)dt0?x???2，
F??(?)?F??(?)，故F(x)在x??处不可导.选（C）.
4、设函数
1?1?x?e??1???(x?1)?，若反常积分?1f(x)dx收敛，则（ ） f(x)??1?x?e??xln??1x（A）（B）（C）?2???0 （D）0???2 ???2 ??2
【答案】（D）
【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★
??e??【详解】?1f(x)dx??1f(x)dx??ef(x)dx 由?1??f(x)dx收敛可知，?f(x)dx与?1e??ef(x)dx均收敛.
e?e1f(x)dx??e11dx??1(x?1)，x?1是瑕点，因为?1专业资料--可修改
1dx??1(x?1)收敛，所以
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??1?1???2
???ef(x)dx????e11dx??(lnx)????1xlnx???，要使其收敛，则??0
e所以，0???2，选D.
5、设z?yf(xy)，其中函数f可微，则x?z??z?（ ）
xy?x?y（A）2yf?(xy) （B）?2yf?(xy) （C）2f(xy) （D）?2f(xy)
xx【答案】（A）
【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★
?zyy2【详解】??2f(xy)?f?(xy)，?z?1f(xy)?yf?(xy)
?xxx?yxx?z?zxyy21???[?2f(xy)?f?(xy)]?[f(xy)?yf?(xy)] y?x?yyxxx11??f(xy)?yf?(xy)?f(xy)?yf?(xy)?2yf?(xy)，故选（A）. xx
6、设Dk是圆域D??(x,y)x2?y2?1?位于第k象限的部分，记
Ik???(y?x)dxdy(k?1,2,3,4)，则（ ）
Dk（A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0 【答案】（B）
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★
【详解】根据对称性可知，I1?I3?0.
，I4???(y?x)dxdy?0（y?x?0） I2???(y?x)dxdy?0（y?x?0）
D2D4因此，选B.
7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
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（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 【答案】（B）
【考点】等价向量组 【难易度】★★
【详解】将矩阵A、C按列分块，A?(?1,,?n)，C?(?1,由于AB?C，故(?1,?b11?,?n)??b?n1b1n????(?1,bnn??,?n)
,?n)
即?1?b11?1??bn1?n,,?n?b1n?1??bnn?n
即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.
由于B可逆，故A?CB?1，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.
?1a1??200?
???
aba0b08、矩阵?与????相似的充分必要条件是（ ） ?1a1??000?????
（A）a?0,b?2
（B）a?0,b为任意常数 （C）a?2,b?0
（D）a?2,b 为任意常数 【答案】（B）
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★
【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.
?200?
?
0b0由???的特征值为?000???
2，b，0
?1a1??aba可知，矩阵A????的特征值?1a1???也是2，b，0.
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1?a?a?1110?a?2a?1?2a??4a2?0?a?0 0因此，2E?A??a?12?b?a?02?b?a2?101??0b0将a?0代入可知，矩阵A????的特征值为?101???2，b，0.
此时，两矩阵相似，与b的取值无关，故选（B）.
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答．题纸指定位置上. ．．
ln(1?x)1?)x? . 9、lim(2x?0x12【答案】e
【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】
ln(1?x)ln(1?x)lim(2?)?lim[1?(1?)x?0x?0xx1x1ln(1?x)1ln(1?x)1??(1?)xxx]?limex?01ln(1?x)?(1?)xx?ex?0x1ln(1?x)lim?(1?)x
1ln(1?x)x?ln(1?x)?(1?)?lim?lim其中，lim2x?0x?0x?0xxx1?1x11?x?lim? x?02x(1?x)2x2故原式=e
x10、设函数f(x)???1导数dxdyy?0121?etdt，则y?f(x)的反函数x?f?1(y)在y?0处的
? . 11?e?1【答案】
【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数
【难易度】★★
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