专题15 概率与统计（解答题）
1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量， 随机调查了50名男顾客和50名女顾客， 每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价， 得到下面列联表：
男顾客 女顾客 满意 40 30 不满意 10 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
n(ad?bc)2附：K?．
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P（K2≥k） k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 【答案】（1）男、女顾客对该商场服务满意的概率的估计值分别为0.8， 0.6；（2）有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
【解析】（1）由调查数据， 男顾客中对该商场服务满意的比率为因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为
40?0.8， 5030?0.6， 50因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
100?(40?20?30?10)2（2）由题可得K??4.762．
50?50?70?302由于4.762?3.841，
故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况， 随机调查了100个企业， 得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
y的分组 企业数 [?0.20,0) 2 [0,0.20) 24 [0.20,0.40) 53 [0.40,0.60) 14 [0.60,0.80) 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01） 附：74?8.602．
【答案】（1）产值增长率不低于40%的企业比例为21%， 产值负增长的企业比例为2%；（2）这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%， 17%． 【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，
所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为产值负增长的企业频率为
14?7?0.21． 1002?0.02． 100用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%， 产值负增长的企业比例为2%． （2）y?21(?0.10?2?0.10?24?0.30?53?0.50?14?0.70?7)?0.30， 100152s?ny?y ???ii100i?1?122222? (?0.40)?2?(?0.20)?24?0?53?0.20?14?0.40?7???100=0.0296，
s?0.0296?0.02?74?0.17，
所以， 这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%， 17%．
3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度， 进行如下试验：将200只 B两组， 每组100只， 其中A组小鼠给服甲离子溶液， B组小鼠给服乙离子溶液．小鼠随机分成A，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”， 根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．
（1）求乙离子残留百分比直方图中a， b的值；
（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）a?0.35， b?0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05， 6.00．【解析】（1）由已知得0.70?a?0.20?0.15， 故a?0.35．
b?1?0.05?0.15?0.70?0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2?0.15?3?0.20?4?0.30?5?0.20?6?0.10?7?0.05?4.05．
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3?0.05?4?0.10?5?0.15?6?0.35?7?0.20?8?0.15?6.00．
4．【2019年高考天津卷文数】2019年， 我国施行个人所得税专项附加扣除办法， 涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人， 现采用分层抽样的方法， 从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（2）抽取的25人中， 享受至少两项专项附加扣除的员工有6人， 分别记为A, B, C, D, E, F．享受情况如下表， 其中“○”表示享受， “×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
员工 A 项目 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 ○ × × ○ × ○ ○ × × ○ × ○ × ○ × × ○ × ○ × ○ × × × × ○ × ○ × × ○ ○ × ○ × ○ B C D E F （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”， 求事件M发生的概率． 【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取6人， 9人， 10人；（2）（i）见解析， （ii）
11． 15【分析】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公
式等基本知识， 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力． 【解析】（1）由已知， 老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10， 由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人， 9人， 10人． （2）（i）从已知的
6
人中随机抽取
2
人的所有可能结果为
{A, B},{A, C},{A, D},{A, E},{A, F},{B, C},{D,E},{D,F},{E,F}， 共15种．
（ii）由表格知， 符合题意的所有可能结果为
{B, D},{B, E},{B, F},{C, D},{C,E},{C,F},{A, B},{A, D},{A, E},{A, F},{B, D},{B, E},{B, F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F}， 共11种．
所以， 事件M发生的概率P(M)?11． 155．【2019年高考北京卷文数】改革开放以来， 人们的支付方式发生了巨大转变．近年来， 移动支付已成 B两种移动支付方式的使用情况， 从全校所有的1000为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，名学生中随机抽取了100人， 发现样本中A， B两种支付方式都不使用的有5人， 样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额 支付方式 仅使用A 仅使用B 27人 24人 不大于2 000元 大于2 000元 3人 1人 （1）估计该校学生中上个月A， B两种支付方式都使用的人数；
（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人， 求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率； （3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人， 发现他本月的支付金额大于2 000元．结合（2）的结果， 能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
【答案】（1）该校学生中上个月A， B两种支付方式都使用的人数约为400；（2）0.04；（3）见解析．【解析】（1）由题知， 样本中仅使用A的学生有27+3=30人， 仅使用B的学生有24+1=25人，
A， B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A， B两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人．
估计该校学生中上个月A， B两种支付方式都使用的人数为
40?1000?400． 100（2）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人， 该学生上个月的支付金额大于2 000元”， 则P(C)?1?0.04． 25（3）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人， 该学生本月的支付金额大于2 000元”． 假设样本仅使用B的学生中， 本月支付金额大于2 000元的人数没有变化， 则由（2）知， P(E)?0.04．
答案示例1：可以认为有变化．理由如下：
P(E)比较小， 概率比较小的事件一般不容易发生，
一旦发生， 就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化， 所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件， P(E)比较小， 一般不容易发生， 但还是有可能发生的， 所以无法确定有没有变化．
6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，根据2000???30.4?13.5t；根据2010年至年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,L,17）建立模型①：y??99?17.5t． 2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,L,7）建立模型②：y（1）分别利用这两个模型， 求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
高考-数学（文科）分类汇编-专题15-概率与统计（解答题）
